【古典数学：原論文の講読】 E54「Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio」Leonh. Eulero. 1736年(素数に関するいくつかの定理の証明)

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1.  Introduction【はじめに】

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1.はじめに
この記事では　Eneström  E54
【Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio】を紹介します.
（素数に関するいくつかの定理の証明）
Leonh. Eulero. 1736年

執筆・発表時期
この論文は 1736年に執筆され1736年8月2日にサンクトペテルブルク科学アカデミーで報告されたとされています.後に
Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, Vol.8, pp.141–146
に掲載されました（実際の刊行は1741年）.

再掲
Opera Omnia Series I, Volume 2, pp. 33–37  

もし現代の論文として章立てを付けるなら
第1章　フェルマーの定理
第2章　帰納法の限界
第3章　フェルマーの小定理(2の場合)
第4章　2の冪への拡張
第5章　3の場合
第6章　一般化のための補題
第7章　完全な一般化
という構成になります.
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2.  
第1章　フェルマーの定理

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§. I.
Plurima quondam a Fermatio theoremata arithmetica ſed ſine demonſtrationibus in medium ſunt prolata, in quibus, ſi vera eſſent, non ſolum eximiae numerorum proprietates continerentur, verum etiam ipſa numerorum ſcientia, quae plerumque analyſeos limites excedere videtur, vehementer eſſet promota.
第1章
かつてフェルマーは多くの算術（数論）の定理を証明なしに公表した.
それらが真であるならば、そこには数の優れた性質が含まれているだけでなく、解析学の範囲をしばしば超えると思われる数論そのものも、大いに発展することになったであろう.
⸻
Quamuis autem iſte inſignis Geometra de pluribus, quae propoſuit, theorematis aſſeuerit ſe ea vel demonstrare poſſe, vel ſaltem de eorum veritate eſſe certum:
もっとも、この卓越した数学者は自ら提示した多くの定理について、それらを証明できる、あるいは少なくともその真実性には確信をもっている、と述べていた.
⸻
tamen nusquam, quantum mihi conſtat, demonſtrationes expoſuit.
しかし、私の知る限りでは、その証明をどこにも公表しなかった.
⸻
Quin potius Fermatius videtur maximam theorematum ſuorum numericorum partem per inductionem eſſe aſſecutus; quippe quae via fere unica ad huiusmodi proprietates eruendas patere videatur.
むしろフェルマーは自らの数論上の定理の大部分を帰納によって発見したように思われる.
というのも、このような性質を見いだすには、その方法がほとんど唯一の道であるように思われるからである.
⸻
At vero quam parum inductionibus in hoc negotio tribui poſſit pluribus exemplis poſſem declarare; ex quibus autem unicum ab ipſo Fermatio deſumtum attuliſſe ſufficiat. Loquor nimirum de illo theoremate, cuius falſitatem iam aliquot ab hinc annis oſtendi, quo Fermatius aſſerit omnes numeros hac forma $${\footnotesize 2^{2^n}+1}$$ comprehenſos eſſe numeros primos.
しかし、この問題において帰納法にどれほどわずかな信頼しか置けないかは、多くの例によって示すことができる.
もっとも、そのためにはフェルマー自身から採った一つの例を挙げるだけで十分であろう.
それというのも、それは、私が数年前にすでにその誤りを示した、あの定理についてである.
すなわち、フェルマーが
「$${\footnotesize 2^{2^n}+1}$$の形に含まれるすべての数は素数である」
と主張した、その定理である.
⸻
Ad veritatem autem huius propoſitionis
euincendam inductio omnino ſufficere videatur.
ところが、この命題の真実性を証明するには、帰納法だけで十分であるように見える.
⸻
Nam praeterquam quod omnes iſti numeri minores quam $${\footnotesize 100000}$$ ſint reuera primi, demonſtrari etiam facile poteſt nullum numerum primum, $${\footnotesize 600}$$ non excedentem,hanc formulam $${\footnotesize 2^{2^n}+1}$$, quantumuis magnus etiam numerus pro $${\footnotesize n}$$ ſubſtituatur, metiri.
というのも$${\footnotesize 100000}$$未満のそのような数は実際すべて素数であるだけでなく、
さらに$${\footnotesize 600}$$以下のいかなる素数も$${\footnotesize n}$$にどれほど大きな数を代入しても、$${\footnotesize 2^{2^n}+1}$$を割り切らないことも容易に証明できるからである.
⸻
Cum tamen nihilominus conſtet hanc propoſitionem veritati non eſſe conſentaneam, facile intelligitur, quantum inductio in huiuſmodi ſpeculationibus valeat.
しかし、それにもかかわらず、この命題が真実に一致しないことは明らかである以上、
このような考察において帰納法がどれほどの効力しか持たないかは容易に理解される.
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第2章　帰納法の限界

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§. 2.
Hanc ob rationem omnes huiusmodi numerorum proprietates, quae ſola inductione nituntur, tam diu pro incertis habendas eſſe arbitror, donec illae vel apodicticis demonſtrationibus muniantur vel omnino reſellantur.
第2章
この理由から、このような数の性質で帰納法だけに依拠するものはすべて、厳密な証明によって確立されるか、あるいは完全に反証されるまでは、未確定のものとして扱うべきであると私は考える.
⸻
Non plus etiam illis theorematis, quae ego ipſe illi ſchediaſmati, in quo de memorato theoremate
Fermatiano numerisque perfectis tractaſi, ſubieci, fidendum eſſe cenſerem, ſi tantum inductionibus, qua via quidem ſola tum temporis ad eorum cognitionem perueni, niterentur.
また、私自身が、かつてフェルマーの前述の定理および完全数について論じた小論文に付け加えた諸定理についても、
もしそれらが帰納法だけ──当時、それらに到達する唯一の方法であった──に基づくものであるならば、
私はそれらを信用すべきものとは考えなかったであろう.
⸻
Nunc vero, poſtquam peculiari methodo demonſtrationes horum theorematum firmiſſimas
ſum adeptus, de veritate eorum non amplius eſt dubitandum.
しかし今では、特別な方法によってこれらの定理のきわめて確実な証明を得たので、
その真実性についてはもはや疑うべきではない.
⸻
Quocirca tam ad veritatem illorum theorematum oſtendendam, quam ad methodum ipſam, quae
forte etiam in aliis numerorum inuiaeſtigationibus utilitatem litatem afferre poterit, in hac diſſertatione meas demonſtrationes explicare conſtitui.
したがって、それらの定理の真実性を示すためだけでなく、
おそらく他の数論研究においても有用性をもつであろうその方法そのものを示すためにもこの論文において私の証明を詳しく述べることにした.
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第3章　フェルマーの小定理
(2の場合)

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3.1  Propoſitio.(命題)

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§. 3.
Propoſitio autem, quam hic demonſtrandam
ſuſcepi, eſt ſequens:
第3章
さて、ここで私が証明しようとする命題は次のとおりである.
⸻
Significante $${\footnotesize p}$$ numerum primum, formula $${\footnotesize a^{p-1}-1}$$ ſemper per $${\footnotesize p}$$ diuidi poterit, niſi $${\footnotesize a}$$ per $${\footnotesize p}$$ diuidi queat.
$${\footnotesize p}$$を素数とするとき、$${\footnotesize a^{p-1}-1}$$は$${\footnotesize a}$$が$${\footnotesize p}$$で割り切れない限り、常に$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
Ex hac enim propoſitione demonſtrata ſponte reliquorum theorematum veritas fluit.
というのも、この命題が証明されれば、残りの諸定理の真実性は自ずから導かれるからである.
⸻
Caſum quidem formulæ propoſitæ, quo eſt $${\footnotesize a = 2}$$, iam ab aliquo tempore demonſtratum dedi; attamen tum demonſtrationem ad generalem formulam extendere non licuit.
実際、この命題の$${\footnotesize a=2}$$の場合については、私はすでに以前に証明を与えていた.
しかし、その当時は、その証明を一般の場合まで拡張することはできなかった.
⸻
Quamobrem primo huius caſus probationem afferre conueniet,quo tranſitus ad generaliora eo facilior reddatur.
それゆえ、まずこの特殊な場合の証明を示すことが適当である.
そうすれば、より一般の場合への移行もそれだけ容易になるからである.
⸻
Demonſtranda igitur erit ſequens propoſitio:
したがって、まず次の命題を証明する.
⸻
Significante $${\footnotesize p}$$ numerum primum imparem quemcunque,formula $${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$ ſemper per $${\footnotesize p}$$ diuidi poterit.
$${\footnotesize p}$$を任意の奇素数とすると、
$${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$は常に$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
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3.2  Demonſtratio.(証明)

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Demonſtratio.
Loco $${\footnotesize 2}$$ ponatur $${\footnotesize 1+1}$$, eritque
$${\footnotesize (1+1)^{p-1}=1+\dfrac{p-1}{1}+\dfrac{(p-1)(p-2)}{1\cdot2}+\dfrac{(p-1)(p-2)(p-3)}{1\cdot2\cdot3}+\cdots}$$
cuius ſeriei terminorum numerus eſt $${\footnotesize p}$$ et proinde impar.
証明
まず$${\footnotesize 2}$$の代わりに$${\footnotesize 1+1}$$と置く.
すると$${\footnotesize (1+1)^{p-1}}$$となる.
これは二項展開により
$${\footnotesize 1+\dfrac{p-1}{1}+\dfrac{(p-1)(p-2)}{1\cdot2}+\dfrac{(p-1)(p-2)(p-3)}{1\cdot2\cdot3}+\cdots}$$
となる.
この級数の項数は$${\footnotesize p}$$個であり、したがって奇数個である.
⸻
Præterea quilibet terminus, quamuis ſpeciem fractionis habeat, dabit numerum integrum; quisque enim numerator, uti ſatis conſtat, per ſuum denominatorem diuidi poteſt.
さらに各項は分数の形をしているように見えるが実際には整数となる.
というのも、それぞれの分子はその分母で割り切れることが明らかだからである.
⸻
Demto igitur ſeriei termino primo $${\footnotesize 1}$$ erit
$${\footnotesize (1+1)^{p-1}-1=2^{p-1}-1=\dfrac{p-1}{1}+\dfrac{(p-1)(p-2)}{1\cdot2}+\dfrac{(p-1)(p-2)(p-3)}{1\cdot2\cdot3}+\cdots}$$
したがって、級数の最初の項$${\footnotesize 1}$$ を除けば、
$${\footnotesize (1+1)^{p-1}-1=2^{p-1}-1}$$
となり、
その値は残りの二項係数の総和に等しい.
⸻
quorum numerus eſt $${\footnotesize =p-1}$$ et propterea par.
Colligantur igitur bini quique termini in vnam ſummam,quo terminorum numerus fiat duplo minor; erit
$${\footnotesize 2^{p-1}-1=\dfrac{p(p-1)}{1\cdot2}+\dfrac{p(p-1)(p-2)(p-3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\dfrac{p(p-1)(p-2)(p-3)(p-4)(p-5)}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6}+\text{etc.}}$$
これらの項の個数は$${\footnotesize p-1}$$個であり、したがって偶数である.
ゆえに、各二項ずつを一つにまとめて和を作れば、項数は半分となり、
$${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$は上のような形に書き直される.
⸻
cuius ſeriei vltimus terminus ob $${\footnotesize p}$$ numerum imparem erit $${\footnotesize \dfrac{p(p-1)(p-2)\cdots2}{1\cdot2\cdot3\cdots(p-1)}=p.}$$
この級数の最後の項は$${\footnotesize p}$$が奇数であることから、
$${\footnotesize \dfrac{p(p-1)(p-2)\cdots2}{1\cdot2\cdot3\cdots(p-1)}=p.}$$
となる.
⸻
Apparet autem ſingulos terminos per $${\footnotesize p}$$ eſſe diuiſibiles;nam, cum $${\footnotesize p}$$ ſit numerus primus et maior quam vllus denominatorum factor, nusquam diuiſione tolli poterit.
さらに、この級数の各項はすべて$${\footnotesize p}$$で割り切れることは明らかである.
というのも$${\footnotesize p}$$は素数であり、どの分母の因子よりも大きいので、分母との約分によって消えることは決してないからである.
⸻
Quamobrem, ſi fuerit $${\footnotesize p}$$ numerus primus impar, per illum ſemper $${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$ diuidi poterit.
Q. E. D.
したがって$${\footnotesize p}$$が奇素数であるならば、
$${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$は常に$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
証明終
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3.2  Aliter(別証明)

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Aliter
Si $${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$ per numerum primum $${\footnotesize p}$$ diuidi poteſt, diuidi quoque poterit eius duplum $${\footnotesize 2^{p}-2}$$ et viciſſim.
別証
もし$${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$が素数$${\footnotesize p}$$で割り切れるならば
その$${\footnotesize 2}$$倍である$${\footnotesize 2^{p}-2}$$もまた$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
逆もまた成り立つ.
⸻
At eſt
$${\footnotesize 2^{p}=(1+1)^{p}=1+p+\dfrac{p(p-1)}{1\cdot2}+\dfrac{p(p-1)(p-2)}{1\cdot2\cdot3}+\cdots+\dfrac{p}{1}+1.}$$
ところで、
$${\footnotesize 2^{p}=(1+1)^{p}}$$を二項展開すると、
$${\footnotesize 1+p+\dfrac{p(p-1)}{1\cdot2}+\dfrac{p(p-1)(p-2)}{1\cdot2\cdot3}+\cdots+\dfrac{p}{1}+1}$$
となる.
⸻
Quae ſeries terminis primo et vltimo truncata dat
$${\footnotesize \dfrac{p}{1}+\dfrac{p(p-1)}{1\cdot2}+\dfrac{p(p-1)(p-2)}{1\cdot2\cdot3}+\cdots+\dfrac{p(p-1)}{1\cdot2}+p=2^{p}-2.}$$
この級数から最初と最後の項を除けば
残る和は$${\footnotesize 2^{p}-2}$$に等しい.
⸻
Perſpicuum autem eſt iſtius ſeriei quemuis terminum per $${\footnotesize p}$$ eſſe diuiſibilem, ſi quidem $${\footnotesize p}$$ fuerit numerus primus.
そして、この級数の各項は$${\footnotesize p}$$が素数であるならば、すべて$${\footnotesize p}$$で割り切れることは明らかである.
⸻
Quamobrem etiam ſemper $${\footnotesize 2^{p}-2}$$ per $${\footnotesize p}$$ et propterea quoque $${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$ per $${\footnotesize p}$$ diuidi poterit, niſi ſit $${\footnotesize p=2.}$$
Q. E. D.
したがって、$${\footnotesize 2^{p}-2}$$は常に$${\footnotesize p}$$で割り切れ、
ゆえに$${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$もまた$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
ただし$${\footnotesize p=2}$$の場合を除く.
証明終
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第4章　2の冪への拡張

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§. 4.(§. 5.)
Cum igitur $${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$ per numerum primum
imparem $${\footnotesize p}$$ diuidi queat; facile intelligitur per $${\footnotesize p}$$ quoque diuidi poſſe hanc formulam
$${\footnotesize 2^{m(p-1)}-1}$$
denotante $${\footnotesize m}$$ numerum quemcunque integrum.
第4章(論文では§5が2個ある)
さて$${\footnotesize 2^{p-1}-1}$$が奇素数$${\footnotesize p}$$で割り切れる以上、
任意の整数$${\footnotesize m}$$に対して$${\footnotesize 2^{m(p-1)}-1}$$
もまた$${\footnotesize p}$$で割り切れることは容易に理解される.
⸻
Quare ſequentes formulæ quoque omnes
$${\footnotesize 4^{p-1}-1,8^{p-1}-1,16^{p-1}-1,}$$
etc. per numerum primum $${\footnotesize p}$$ diuidi poterunt. Demonſtrata igitur eſt veritas theorematis generalis pro omnibus caſibus, quibus $${\footnotesize a}$$ eſt quaecuis binarii poteſtas, et $${\footnotesize p}$$ quicunque numerus primus praeter binarium.
したがって、次の式
$${\footnotesize 4^{p-1}-1,8^{p-1}-1,16^{p-1}-1,}$$
などもすべて同様に$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
したがって$${\footnotesize a}$$が$${\footnotesize 2}$$の任意の冪であり$${\footnotesize p}$$が$${\footnotesize 2}$$を除く任意の素数であるすべての場合について、この一般定理が成り立つことが証明された.
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第5章　3の場合

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5.1  Theorema.(定理)

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§. 5.
Demonſtrato nunc hoc theoremate eius ope
ſequens quoque demonſtrabimus.
第5節
さて、この定理が証明されたので、その結果を用いて次の定理も証明しよう.
⸻
Theorema.
Denotante $${\footnotesize p}$$ numerum primum quemcunque praeter $${\footnotesize 3,}$$ per illum ſemper haec formula
$${\footnotesize 3^{p-1}-1}$$ diuidi poterit.
定理
$${\footnotesize p}$$を$${\footnotesize 3}$$を除く任意の素数とすると、
$${\footnotesize 3^{p-1}-1}$$は常に$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
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5.2  Demonſtratio.(証明)

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Demonſtratio.
Si $${\footnotesize 3^{p-1}-1}$$ per numerum primum $${\footnotesize p}$$, excepto $${\footnotesize 3}$$, diuidi poteſt, tum $${\footnotesize 3^{p}-3}$$ per $${\footnotesize p}$$ diuidi poterit, quoties $${\footnotesize p}$$ fuerit numerus primus quicunque, et viciſſim.
証明
もし$${\footnotesize 3^{p-1}-1}$$が$${\footnotesize 3}$$を除く素数$${\footnotesize p}$$で割り切れるならば$${\footnotesize 3^{p}-3}$$もまた$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
逆も同様である.
⸻
Eſt vero
$${\footnotesize 3^{p}=(1+2)^{p}=1+\dfrac{p}{1}\,2+\dfrac{p(p-1)}{1\!\cdot\!2}\,4+\dfrac{p(p-1)(p-2)}{1\!\cdot\!2\!\cdot\!3}\,8+\cdots+\dfrac{p}{1}\,2^{p-1}+2^{p},}$$
ところで
$${\footnotesize 3^{p}=(1+2)^{p}}$$であるから、二項展開により
$${\footnotesize 1+\dbinom{p}{1}2+\dbinom{p}{2}2^{2}+\dbinom{p}{3}2^{3}+\cdots+\dbinom{p}{1}2^{p-1}+2^{p}}$$
となる.
⸻
cuius ſeriei ſinguli termini praeter primum et vltimum per $${\footnotesize p}$$ diuidi poterunt, ſi quidem $${\footnotesize p}$$ fuerit numerus primus.
この級数では最初と最後の項を除くすべての項は$${\footnotesize p}$$が素数であれば$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
Per $${\footnotesize p}$$ igitur diuidi poteſt iſta formula;
$${\footnotesize 3^{p}-2^{p}-1,}$$
quae aequalis eſt huic$${\footnotesize 3^{p}-3-2^{p}+2.}$$
したがって$${\footnotesize 3^{p}-2^{p}-1}$$は$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
しかも$${\footnotesize 3^{p}-2^{p}-1=3^{p}-3-2^{p}+2}$$である.
⸻
At $${\footnotesize 2^{p}-2}$$ ſemper per $${\footnotesize p}$$ numerum primum diuidi poteſt; ergo etiam $${\footnotesize 3^{p}-3.}$$
Quare$${\footnotesize 3^{p-1}-1}$$ ſemper per $${\footnotesize p}$$ diuidi poteſt, quoties $${\footnotesize p}$$ fuerit numerus primus excepto $${\footnotesize 3.}$$
Q. E. D.
一方$${\footnotesize 2^{p}-2}$$はすでに示したように
常に素数$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
したがって$${\footnotesize 3^{p}-3}$$も$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
ゆえに$${\footnotesize 3^{p-1}-1}$$は$${\footnotesize 3}$$を除く任意の素数$${\footnotesize p}$$に対して常に$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
証明終
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第6章　一般化のための補題

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§. 6.
Eodem modo vlterius progredi liceret ab hoc ipſius $${\footnotesize a}$$ valore ad ſequentem vnitate maiorem.
Sed quo demonſtrationem generalis theorematis magis concinnam magisque genuinam efficiam; ſequens praemitto
第6章
同じ方法によって、この$${\footnotesize a}$$の値から、さらに$${\footnotesize 1}$$大きい値へと順に進むこともできる.
しかし一般定理の証明をより簡潔で、より本質的なものにするために、まず次のことを述べておく.
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6.1  Theorema.(定理)

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Theorema.
Denotante p numerum primum, ſi $${\footnotesize a^p-a}$$ per $${\footnotesize p}$$ diuidi poteſt; tum per eidem $${\footnotesize p}$$ quoque formula $${\footnotesize (a+1)^p-a-1}$$ diuidi poterit.
定理
$${\footnotesize p}$$を素数とする
もし$${\footnotesize a^p-a}$$が$${\footnotesize p}$$で割り切れるならば、
$${\footnotesize (a+1)^p-a-1}$$もまた$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
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6.2  Demonſtratio.(証明)

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Demonſtratio.
Reſoluatur $${\footnotesize (1+a)^p}$$ conſueto more in ſeriem,erit
$${\footnotesize (1+a)^p=1+\dfrac{p}{1}a+\dfrac{p(p-1)}{1.2}a^2+\dfrac{p(p-1)(p-2)}{1.2.3}a^3+\cdots+\dfrac{p}{1}a^{p-1}+a^p;}$$
証明
通常どおり$${\footnotesize (1+a)^p}$$を二項展開すると
$${\footnotesize (1+a)^p=1+\dfrac{p}{1}a+\dfrac{p(p-1)}{1\cdot2}a^2+\dfrac{p(p-1)(p-2)}{1\cdot2\cdot3}a^3+\cdots+\dfrac{p}{1}a^{p-1}+a^p}$$
となる.
⸻
cuius ſeriei ſinguli termini
per $${\footnotesize p}$$ diuidi poſſunt praeter primum et vltimum; ſi
quidem $${\footnotesize p}$$ fuerit numerus primus.
この級数では、最初の項と最後の項を除くすべての項は$${\footnotesize p}$$が素数であるならば$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
Quamobrem $${\footnotesize (1+a)^p-a^p-1}$$ diuiſionem per $${\footnotesize p}$$ admittet;
したがって$${\footnotesize (1+a)^p-a^p-1}$$は$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
haec autem formula congruit cum hac
$${\footnotesize (1+a)^p-a-1-a^p+a.}$$
しかもこの式は$${\footnotesize (1+a)^p-a-1-a^p+a}$$
と一致する.
⸻
At
$${\footnotesize a^p-a}$$ per hypotheſin per p diuidi poteſt,
ergo et $${\footnotesize (1+a)^p-a-1.}$$
Q. E. D.
一方、
$${\footnotesize a^p-a}$$は仮定により$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
したがって
$${\footnotesize (1+a)^p-a-1}$$も$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
証明終
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第7章　完全な一般化

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§. 7.
Cum igitur, poſito quod $${\footnotesize a^p-a}$$ per $${\footnotesize p}$$ numerum primum diuidi queat, per $${\footnotesize p}$$ quoque haec formula $${\footnotesize (a+1)^p-a-1}$$ diuiſionem admittat;
第7章
したがって$${\footnotesize a^p-a}$$が素数$${\footnotesize p}$$で割り切れると仮定すれば
$${\footnotesize (a+1)^p-a-1}$$もまた$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
ſequitur etiam $${\footnotesize (a+2)^p-a-2,}$$ item
$${\footnotesize (a+3)^p-a-3}$$ et generaliter
$${\footnotesize (a+b)^p-a-b}$$ per $${\footnotesize p}$$ diuidi poſſe.
すると同様に$${\footnotesize (a+2)^p-a-2}$$さらに
$${\footnotesize (a+3)^p-a-3}$$そして一般に
$${\footnotesize (a+b)^p-a-b}$$も$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
Poſito autem $${\footnotesize a=2,}$$ quia
$${\footnotesize 2^p-2,}$$ vti iam demonſtrauimus,per $${\footnotesize p}$$ diuidi poteſt,
ここで$${\footnotesize a=2}$$と置く.
すでに証明したように
$${\footnotesize 2^p-2}$$は$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
perſpicuum eſt formulam $${\footnotesize (b+2)^p-b-2}$$
diuiſionem per $${\footnotesize p}$$ admittere debere,
quicunque integer numerus loco $${\footnotesize b}$$ ſubſtituatur.
したがって、
任意の整数$${\footnotesize b}$$に対して$${\footnotesize (b+2)^p-b-2}$$
は$${\footnotesize p}$$で割り切れることが明らかである.
⸻
Metietur ergo $${\footnotesize p}$$ formulam $${\footnotesize a^p-a,}$$
niſi fuerit $${\footnotesize a=p}$$ vel multiplo ipſius $${\footnotesize p.}$$
ゆえに、
$${\footnotesize a^p-a}$$
は$${\footnotesize a}$$ が$${\footnotesize p}$$または$${\footnotesize p}$$の倍数でない限り
常に$${\footnotesize p}$$で割り切れる.
⸻
Atque haec eſt demonſtratio generalis theorematis, quam tradere ſuſcepi.
そして、これが私が示そうとした一般定理の証明である.
⸻

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3.  Historical supplement.
【歴史的補足】

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この論文全体の数論史上の位置づけ

主題
この論文は、数論史上極めて重要な論文であり
フェルマーの小定理
$${\footnotesize a^{p-1}\equiv1\pmod p}$$
（ただし$${\footnotesize \gcd(a,p)=1}$$）
に対する史上初の公表された完全な証明を与えています.なお、Gottfried Wilhelm Leibnizも未公表の証明を残していましたが、生前には出版されませんでした.そのため、出版された最初の証明はオイラーによるものとされています.
⸻
この論文は、オイラーの数論研究の初期三部作の一つとして位置づけられます.

1. 1732(1738出版)
   Observationes de theoremate quodam Fermatiano…
   （フェルマー数$${\footnotesize 2^{32}+1}$$の反例など）
2. 1736(1741出版)
   Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio
   （フェルマーの小定理の初の公表証明）
3. 1747–1748（1750出版）
   Theoremata circa divisores numerorum
   （より一般的な合同式・オイラーの定理への発展）  
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4. 【古典数学】原論文の講読

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⭐️1640年12月25日　Pierre de Fermatの
「Lettre de M. de Fermat à M. Mersenne,
    du 25 Décembre 1640」
(1640年12月25日付フェルマー氏よりメルセンヌ氏宛書簡)👇

⭐️1732年　Leonhard EulerのE26
「Observationes de theoremate quodam Fermatiano, aliisque ad numeros primos spectantibus」
（フェルマーのある定理
および素数に関する諸考察）👇

⭐️1738年　Leonhard EulerのE98
「Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes」
(いくつかの算術定理の証明)👇

1770年の Joseph-Louis Lagrange の
(四平方定理論文)👇

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4.  Reference【参考文献】

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https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?filename=0&article=1053&context=euler-works&type=additional

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