【古典数学：原論文の講読】 E26「Observationes de theoremate quodam Fermatiano, aliisque ad numeros primos spectantibus.」Leonh. Eulero. 1732年(フェルマーのある定理、および素数に関する諸考察)

-------------------------------------------------
$${\rm Published}$$  $${\rm Online}$$  $${\rm First}$$  $${\rm (6/27/2026)}$$
$${\rm Latest}$$  $${\rm additions}$$  $${\rm(6/27/2026)}$$
-------------------------------------------------

-------------------------------------------------

1.  Introduction【はじめに】

-------------------------------------------------
1.はじめに
この記事では
【Observationes de theoremate quodam Fermatiano, aliisque ad numeros primos spectantibus.】を紹介します.
（フェルマーのある定理、および素数に関する諸考察）

-------------------------------------------------

Eneström  E26
オイラー全集で用いられる論文番号です.
-------------------------------------------------
Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 6 (1732/33), published 1738,
pp. 103–107.

(pp.103–107)を論理構造に従って章立てすると
次のようになります.
オイラー自身は章見出しを付けていませんが、内容の流れに忠実に区切ると以下が最も自然です.

第1章　フェルマー数$${\footnotesize a^{2^m}+1}$$の一般的性質
             (p.103–104前半)

第2章　フェルマー予想と$${\footnotesize 2^{32}+1}$$の反例
             (p.104後半〜p.105冒頭)

第3章　メルセンヌ数と完全数
             (p.105中頃〜p.106前半)

第4章　一般可除性定理(p.106中盤)

第5章　一般定理から導かれる帰結(p.106後半)

第6章　主要定理の一覧(p.107)
-------------------------------------------------

2.  第1章　フェルマー数 a^{2^m}+1 の一般的性質

-------------------------------------------------
第1章　フェルマー数$${\footnotesize a^{2^m}+1}$$の一般的性質
（pp.103–104前半）
* $${\footnotesize a^n+1}$$の因数分解性
* $${\footnotesize n}$$が奇数なら必ず因数をもつ
* 素数になり得るのは指数が$${\footnotesize 2}$$冪の場合のみ
* フェルマー数$${\footnotesize 2^{2^m}+1}$$の紹介
* 合成数となる具体例
-------------------------------------------------
Notum eft hanc quantitatem $${\footnotesize a^n+1}$$ femper habere diuifores, quoties $${\footnotesize n}$$ fit numerus impar, vel per imparem praeter vnitatem diuiſibilis.
よく知られているように$${\footnotesize a^n+1}$$は、指数$${\footnotesize n}$$が奇数である場合、あるいは$${\footnotesize 1}$$以外の奇数で割り切れる場合には、必ず非自明な約数をもつ.
⸻
Namque $${\footnotesize a^{2m+1}+1}$$ diuidi poteft per $${\footnotesize a+1}$$ et $${\footnotesize a^{p(2m+1)}+1}$$ per $${\footnotesize a^p+1}$$, quicunque etiam numerus loco $${\footnotesize a}$$ fubftituatur.
実際、$${\footnotesize a^{2m+1}+1}$$は常に$${\footnotesize a+1}$$
で割り切れ、さらに$${\footnotesize a^{p(2m+1)}+1}$$は
$${\footnotesize a^p+1}$$で割り切れる.
これは$${\footnotesize a}$$にどの整数を代入しても成立する.
⸻
Contrà verò fi $${\footnotesize n}$$ fuerit eiusmodi numerus, qui per nullum numerum imparem nifi vnitatem diuidi poffit; id quod euenit, quando $${\footnotesize n}$$ eft dignitas binarii, nullus numeri $${\footnotesize a^n+1}$$ poteft affignari diuifor.
⸻
これに対し$${\footnotesize n}$$が$${\footnotesize 1}$$以外の奇数で全く割れない数、すなわち$${\footnotesize 2}$$の冪$${\footnotesize n=2^m}$$であるならば、
$${\footnotesize a^n+1}$$について、このような一般的な約数は存在しない.
⸻
Quamobrem fi qui fint numeri primi huius formae $${\footnotesize a^n+1}$$, ii omnes comprehenduntur neceffe eft in hac forma $${\footnotesize a^{2^m}+1.}$$
したがって、$${\footnotesize a^n+1}$$型の素数が存在するとすればその指数は必ず$${\footnotesize 2^m}$$の形でなければならない.
⸻
Neque tamen ex hoc poteft concludi $${\footnotesize a^{2^m}+1}$$ femper exhibere numerum primum quicquid fit $${\footnotesize a}$$; primo enim perfpicuum eft, fi $${\footnotesize a}$$ fit numerus impar, iftam formam diuiforem habituram $${\footnotesize 2.}$$
しかし、このことから$${\footnotesize a^{2^m}+1}$$が$${\footnotesize a}$$の値にかかわらず常に素数を与えると結論することはできない.
まず明らかなように、もし$${\footnotesize a}$$が奇数であれば、この形の数は必ず$${\footnotesize 2}$$を約数にもつ.
⸻
Deinde quoque, etiamfi $${\footnotesize a}$$ denotet numerum parem, innumeri tamen dantur cafus, quibus numerus compofitus prodit.
また$${\footnotesize a}$$ が偶数の場合でも、この数が合成数になる例は数多く存在する.
⸻
Ita haec faltem formula $${\footnotesize a^2+1}$$  poteft diuidi per $${\footnotesize 5}$$ , quoties eft $${\footnotesize a=5b\pm3}$$; et $${\footnotesize 30^2+1}$$  poteft diuidi per $${\footnotesize 17}$$ , et $${\footnotesize 50^2+1}$$ per $${\footnotesize 41.}$$
例えば、
$${\footnotesize a\equiv\pm2\pmod5}$$ なら$${\footnotesize a^2+1}$$は$${\footnotesize 5}$$で割り切れる.
さらに$${\footnotesize 30^2+1}$$は$${\footnotesize 17}$$で
$${\footnotesize 50^2+1}$$は$${\footnotesize 41}$$ で割り切れる.
⸻
Simili modo $${\footnotesize 10^4+1}$$ habet diuiforem $${\footnotesize 73}$$; $${\footnotesize 6^8+1}$$ habet diuiforem $${\footnotesize 17}$$, et $${\footnotesize 6^{128}+1}$$ eft diuiſibilis per $${\footnotesize 257.}$$
同様に、$${\footnotesize 10^4+1}$$は$${\footnotesize 73}$$を約数とし
$${\footnotesize 6^8+1}$$は$${\footnotesize 17}$$を約数とし
$${\footnotesize 6^{128}+1}$$は$${\footnotesize 257}$$で割り切れる.
-------------------------------------------------

第2章　フェルマー予想と 2^{32}+1 の反例

-------------------------------------------------
第2章　フェルマー予想と$${\footnotesize 2^{32}+1}$$の反例
(p.104後半〜p.105冒頭)
* フェルマーの予想紹介
* Wallis への言及
* Fermat の原文引用
* 表からは反例が見つからない理由
* Euler が$${\footnotesize 2^{32}+1}$$を$${\footnotesize 641}$$で割れることを発見
* フェルマー予想の否定
⸻
At huius formae $${\footnotesize 2^{2^m}+1}$$ quantum ex tabulis numerorum primorum, quae quidem non vltra $${\footnotesize 100000}$$extenduntur, nullus detegitur cafus, quo diuifor aliquis locum habeat.
しかし、$${\footnotesize 2^{2^m}+1}$$については
10万までの素数表を調べる限り
その約数は一つも見つかっていない.
⸻
Hac forte aliifque rationibus Fermatius adductus enunciare non dubitauit $${\footnotesize 2^{2^m}+1}$$ femper effe numerum primum,
このことなどを根拠として、フェルマーは
$${\footnotesize 2^{2^m}+1}$$は常に素数であると主張することをためらわなかったのであろう.
⸻
hocque vt eximium theorema Wallifio aliifque Mathematicis Anglis demonftrandum propofuit.
そしてこの命題を、ウォリスをはじめとするイギリスの数学者たちに、証明すべき優れた定理として提示した.
⸻
Ipfe quidem fatetur fe eius demonftrationem non habere, nihilo tamen minus afferit effe veriffimum.
彼自身、この命題の証明は持っていないことを認めながらも、その真実性については全く疑わなかった.
⸻
Vtilitatem eius autem hanc potiffimum praedicat, quod eius ope facile fit numerum primum quouis dato maiorem exhibere,id quod fine huiufmodi vniuerfali theoremate foret difficillimum.
さらに、この定理の最大の利点として、任意に与えられた数より大きい素数を容易に構成できることを挙げている.
このような一般的定理がなければ、それを行うことは極めて困難であろう.
⸻
Leguntur haec in Wallifii Commercio Epiftolico Tomo Eius Operum fecundo inferto, epiftola penultima.
これらの記述は、**ウォリス『書簡集（Commercium Epistolicum）』**の、彼の著作集第2巻に収められた最後から2番目の書簡に見ることができる.
⸻
Extant etiam in ipfius Fermatii operibus p. 115. fequentia.
また、フェルマー自身の著作の115ページにも、次の文章が載っている.
⸻
“Cum autem numeros a binario quadratice in fe ductos et vnitate auctos effe femper numeros primos apud me conftet, et iam dudum Analytis illius theorematis veritas fuerit fignificata nempe effe primos $${\footnotesize 3, 5, 17, 257, 65537,}$$ etc. in infinit. nullo negotio etc,”
「二を底として平方を繰り返して得られる指数に$${\footnotesize 1}$$を加えた数は、常に素数であることが私には明らかであり、私は以前から解析によってこの定理の真実を確かめていた.すなわち、
$${\footnotesize 3,\;5,\;17,\;257,\;65537,\;\ldots}$$
は無限に素数であることが、何の困難もなく分かる.」
⸻
Veritas iftius theorematis elucet, vt iam dixi, fi pro $${\footnotesize m}$$ ponantur $${\footnotesize 1, 2, 3}$$ et $${\footnotesize 4}$$, prodeunt enim hi numeri $${\footnotesize 5, 17, 257}$$, et $${\footnotesize 65537}$$, qui omnes inter numeros primos in tabula reperiuntur.
この定理の正しさは、先に述べたように$${\footnotesize m}$$に
$${\footnotesize 1,\;2,\;3,\;4}$$を代入すれば明らかになる.
実際、$${\footnotesize 5,\;17,\;257,\;65537}$$が得られ
これらはすべて素数表の中に素数として載っている.
⸻
Sed nefcio, quo fato eueniat, vt ftatim fequens nempe $${\footnotesize 2^{2^5}+1}$$ ceffet effe numerus primus, obferuaui enim his diebus longe alia agens poffe hunc numerum diuidi per $${\footnotesize 641}$$, vt cuique tentanti ftatim patebit.
しかし、どのような運命によるものかは分からないが、その直後の数、すなわち
$${\footnotesize 2^{2^5}+1}$$は、もはや素数ではなくなる.
というのも、私は最近、別の研究をしている最中に、この数が$${\footnotesize 641}$$で割り切れることを見いだしたのである.このことは、実際に試してみれば誰にでもすぐ確認できる.
⸻
Eft enim $${\footnotesize 2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297.}$$
実際、$${\footnotesize 2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297}$$である.
⸻
Ex quo intelligi poteft, theorema hoc etiam in aliis, qui fequuntur, cafibus fallere, et hanc ob rem problema de inueniendo numero primo quouis dato maiore etiam nunc non effe folutum.
このことから、この定理はさらに後続の場合にも成り立たない可能性があることが分かる.
したがって、「任意の与えられた数より大きい素数を常に構成する方法」は、この定理によっては未解決のままである.
-------------------------------------------------

第3章　メルセンヌ数と完全数

-------------------------------------------------
第3章　メルセンヌ数と完全数
（p.105中頃〜p.106前半）
* メルセンヌ数$${\footnotesize 2^n-1}$$の研究
* 素数指数との関係
* 完全数との対応
* Mersenne 型素数の例
* 合成数となる指数の判定
* Wolff の表の訂正
-------------------------------------------------
Confiderabo nunc etiam formulam $${\footnotesize 2^n-1}$$, quae quoties $${\footnotesize n}$$ non eft numerus primus, habet diuifores: neque tantum $${\footnotesize 2^n-1}$$, fed etiam $${\footnotesize a^n-1.}$$
次に、$${\footnotesize 2^n-1}$$という形の数について考察しよう.
$${\footnotesize n}$$が素数でないとき、この数は約数をもつ.
しかも、この性質は$${\footnotesize 2^n-1}$$だけではなく
一般に$${\footnotesize a^n-1}$$についても成り立つ.
⸻
Sed fi $${\footnotesize n}$$ fit numerus primus, videri poffet etiam $${\footnotesize 2^n-1}$$ femper talem exhibere: hoc tamen affuerare nemo eft aufus quantum fcio, cum tam facile potuiffet refelli.
しかし、もし$${\footnotesize n}$$が素数ならば、$${\footnotesize 2^n-1}$$
は常に素数であるようにも見える.
しかし、私の知る限り、このことを断言した者はいない.というのも、そのような主張は容易に反証できたはずだからである.
⸻
Namque $${\footnotesize 2^{11}-1}$$, i.e. $${\footnotesize 2047}$$, diuifores habet $${\footnotesize 23}$$ et $${\footnotesize 89}$$, et $${\footnotesize 2^{23}-1}$$ diuidi poteft per $${\footnotesize 47.}$$
実際$${\footnotesize 2^{11}-1=2047}$$は$${\footnotesize 23}$$と$${\footnotesize 89}$$約数にもつ.
また、$${\footnotesize 2^{23}-1}$$は$${\footnotesize 47}$$で割り切れる.
⸻
Video autem Cel. Wolfium non folum hoc in Elem. Mathefeos editione altera non aduertiffe, vbi numeros perfectos inueftigat, atque $${\footnotesize 2047}$$ inter primos numerat; fed etiam $${\footnotesize 511}$$ feu $${\footnotesize 2^9-1}$$ pro tali habet, cum tamen fit diuiſibilis per $${\footnotesize 2^3-1}$$, i.e. $${\footnotesize 7.}$$
さらに私は高名なヴォルフが『Elementa Mathefeos』第2版において完全数を論じながら、この事実に気付いていないことを見て取る.
彼は$${\footnotesize 2047}$$を素数の中に数えているだけでなく$${\footnotesize 511}$$すなわち$${\footnotesize 2^9-1}$$までも素数として扱っている.
しかし実際には、この数は$${\footnotesize 2^3-1=7}$$で割り切れる.
⸻
Dat autem $${\footnotesize 2^{n-1}(2^n-1)}$$ numerum perfectum, quoties $${\footnotesize 2^n-1}$$ eft primus; debet ergo etiam $${\footnotesize n}$$ effe numerus primus.
一方、$${\footnotesize 2^{n-1}(2^n-1)}$$は完全数を与える.
ただしそれは$${\footnotesize 2^n-1}$$が素数である場合に限る.
したがって、そのためには指数$${\footnotesize n}$$自身も
素数でなければならない.
⸻
Operae igitur pretium fore exiftimaui eos notare cafus, quibus $${\footnotesize 2^n-1}$$ non eft numerus primus, quamuis $${\footnotesize n}$$ fit talis.
そこで私は指数が素数でありながら$${\footnotesize 2^n-1}$$
が素数ではない例を調べる価値があると考えた.
⸻
Inueni autem hoc femper fieri, fi fit $${\footnotesize n=4m-1}$$, atque $${\footnotesize 8m-1}$$ fuerit numerus primus, tum enim $${\footnotesize 2^n-1}$$ femper poterit diuidi per $${\footnotesize 8m-1.}$$
そして私は、次の事実を見いだした.
もし$${\footnotesize n=4m-1}$$であり、さらに
$${\footnotesize 8m-1}$$が素数であるならば、
$${\footnotesize 2^n-1}$$は必ず$${\footnotesize 8m-1}$$で割り切れる.
⸻
Hinc excludendi funt cafus fequentes, $${\footnotesize 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239}$$, etc. qui numeri pro $${\footnotesize n}$$ fubftituti reddunt $${\footnotesize 2^n-1}$$ numerum compofitum.
したがって、次の指数の場合は除外される.
$${\footnotesize 11,\ 23,\ 83,\ 131,\ 179,\ 191,\ 239,\ \ldots}$$
これらを$${\footnotesize n}$$に代入すると、
$${\footnotesize 2^n-1}$$は合成数となる.
⸻
Neque tamen reliqui numeri primi omnes loco $${\footnotesize n}$$ pofiti fatisfaciunt, fed plures infuper excipiuntur, fic obferuaui $${\footnotesize 2^{37}-1}$$ diuidi poffe per $${\footnotesize 223, 2^{43}-1}$$ per $${\footnotesize 431, 2^{29}-1}$$ per $${\footnotesize 1103, 2^{73}-1}$$ per $${\footnotesize 439}$$, omnes tamen excludere non eft in poteftate.
しかし、それ以外のすべての素数指数が条件を満たすわけではない.
さらに例外が存在する.私は次のことを確認した.
$${\footnotesize 2^{37}-1}$$は$${\footnotesize 223}$$で割り切れ
$${\footnotesize 2^{43}-1}$$は$${\footnotesize 431}$$で、$${\footnotesize 2^{29}-1}$$は$${\footnotesize 1103}$$で
$${\footnotesize 2^{73}-1}$$は$${\footnotesize 439}$$で割り切れることを確認した.
しかし、この方法ですべての場合を排除できるわけではない.
-------------------------------------------------
Attamen afferere audeo praeter hos cafus notatos, omnes numeros primos minores quam $${\footnotesize 50}$$, et forte quam $${\footnotesize 100}$$, efficere $${\footnotesize 2^{n-1}(2^n-1)}$$ effe numerum perfectum, fequentibus numeris pro n poftis, $${\footnotesize 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 41, 47}$$, vnde $${\footnotesize 11}$$. proueniunt numeri perfecti.
しかし私は、ここで挙げた例外を除けば、
$${\footnotesize 50}$$未満、おそらくは$${\footnotesize 100}$$未満 のすべての素数について$${\footnotesize 2^{\,n-1}(2^n-1)}$$
は完全数を与えると主張してよいと思う.
すなわち、
$${\footnotesize n=1,\;2,\;3,\;5,\;7,\;13,\;17,\;19,\;31,\;41,\;47}$$
を代入すると$${\footnotesize 11}$$個の完全数が得られる.
-------------------------------------------------

第4章　一般可除性定理

-------------------------------------------------
第4章　一般可除性定理
（p.106中盤）
一般定理$${\footnotesize a^n-b^n}$$について
$${\footnotesize n+1}$$が素数なら$${\footnotesize a^n-b^n}$$は
$${\footnotesize n+1}$$で割り切れる条件を提示.
ここでオイラーは
「証明はまだ持っていないが、その真実性には確信がある.」と述べています.

-------------------------------------------------
Deduxi has obferuationes ex Theoremate quodam non ineleganti, cuius quidem demonftrationem quoque non habeo, verum tamen de eius veritate fum certiffimus.
私はこれらの観察を、あるかなり興味深い定理から導いた.
その定理については、私もまだ証明を持っていないが、その真実性については極めて確信している.
⸻
Theorema hoc eft, $${\footnotesize a^n-b^n}$$, femper poteft diuidi per $${\footnotesize n+1}$$, fi $${\footnotesize n+1}$$ fuerit numerus primus atque $${\footnotesize a}$$ et $${\footnotesize b}$$ non poffint per eum diuidi;
その定理とは次のものである.
$${\footnotesize a^n-b^n}$$は$${\footnotesize n+1}$$が素数でありしかも
$${\footnotesize a,\;b}$$のいずれも$${\footnotesize n+1}$$で割り切れないならば、
常に$${\footnotesize n+1}$$で割り切れる.
⸻
eo autem difficiliorem puto eius demonftrationem effe, quia non eft verum nifi $${\footnotesize n+1}$$ fit numerus primus.
⸻
しかも私は、この定理の証明は一層困難であると思う.というのも、この命題は$${\footnotesize n+1}$$
が素数である場合にしか成立しないからである.
-------------------------------------------------

第5章　一般定理から導かれる帰結

-------------------------------------------------
第5章　一般定理から導かれる帰結
（p.106後半）
一般定理を応用して
* $${\footnotesize 2^n-1}$$
* $${\footnotesize 2^n+1}$$
について多数の合同条件を導きます.
この章は「一般理論 → 具体的応用」
という構成になっています.
⸻
Ex hoc ftatim fequitur $${\footnotesize 2^n-1}$$ femper diuidi poffe per $${\footnotesize n+1}$$, fi fuerit $${\footnotesize n+1}$$ numerus primus,
この定理から直ちに、
$${\footnotesize n+1}$$が素数であるならば、
$${\footnotesize 2^n-1}$$は常に
$${\footnotesize n+1}$$で割り切れることが従う.
⸻
feu cum omnis primus fit impar praeter $${\footnotesize 2}$$, hincque ob conditiones theorematis, quia eft $${\footnotesize a=2}$$, non poffit adhiberi, poterit $${\footnotesize 2^{2m}-1}$$ femper diuidi per $${\footnotesize 2m+1}$$ fi $${\footnotesize 2m+1}$$ fit numerus primus.
⸻
言い換えれば、素数は$${\footnotesize 2}$$を除いてすべて奇数であるから、この定理の条件では
$${\footnotesize a=2}$$となるため一般の場合は適用できないが、$${\footnotesize 2m+1}$$が素数ならば、
$${\footnotesize 2^{2m}-1}$$は常に$${\footnotesize 2m+1}$$で割り切れる.
⸻
Quare etiam vel $${\footnotesize 2^{2m}+1}$$ vel $${\footnotesize 2^{2m}-1}$$ diuidi poterit per $${\footnotesize 2m+1.}$$
したがって$${\footnotesize 2m+1}$$が素数であるならば
$${\footnotesize 2^{2m}+1}$$または$${\footnotesize 2^{2m}-1}$$のいずれか一方は
$${\footnotesize 2m+1}$$で割り切れることになる.
⸻
Deprehendi autem $${\footnotesize 2^{2m}+1}$$ poffe diuidi, fi fuerit $${\footnotesize m=4p+1}$$ vel $${\footnotesize 4p+2}$$, at $${\footnotesize 2^{2m}-1}$$ habebit diuiforem $${\footnotesize 2m+1}$$, fi $${\footnotesize m=4p}$$ vel $${\footnotesize 4p-1.}$$
さらに私は、$${\footnotesize m=4p+1}$$または$${\footnotesize m=4p+2}$$
のときには$${\footnotesize 2^{2m}+1}$$が
$${\footnotesize 2m+1}$$で割り切れることを見いだした.
一方$${\footnotesize m=4p}$$または$${\footnotesize m=4p-1}$$のときには
$${\footnotesize 2^{2m}-1}$$が$${\footnotesize 2m+1}$$を約数にもつ.
-------------------------------------------------

第6章　主要定理の一覧

-------------------------------------------------
第6章　主要定理の一覧(p.107)
Theorema Iフェルマー小定理
Theorema IIフェルマー小定理の冪乗への拡張
Theorema III複数の素数への一般化
Theorema IV$${\footnotesize 3^n\pm1}$$の可除性
Theorema V$${\footnotesize 3^n\pm2^n}$$の可除性
Theorema VI$${\footnotesize 6^n\pm1}$$の可除性
-------------------------------------------------
Haec perfecutus in multa alia incidi theoremata non minus elegantia,
この研究をさらに進めるうちに、私はこれ以外にも、同様に優美な多くの定理へと到達した.
⸻
quae eo magis aeftimanda effe puto,
私は、それらはなお一層高く評価されるべきものだと考えている.
⸻
quod vel demonftrari prorfus nequeant, vel ex eiusmodi propofitionibus fequantur, quae demonftrari non poffunt;
というのも、それらは、
完全には証明できないか、
あるいは証明できない命題からしか導くことのできない種類の定理だからである.
⸻
primaria igitur hic adiungere vifum eft.
したがって、ここではその中でも最も重要なものだけを付け加えることにした.
-------------------------------------------------
Theorema I.
Si fuerit $${\footnotesize n}$$ numerus primus, omnis potentia exponentis $${\footnotesize n-1}$$ per $${\footnotesize n}$$ diuifa vel nihilo vel $${\footnotesize 1}$$ relinquitur.
定理 I
もし$${\footnotesize n}$$が素数であるならば
指数が$${\footnotesize n-1}$$である任意の冪を$${\footnotesize n}$$で割ると
その余りは$${\footnotesize 0}$$または$${\footnotesize 1}$$になる.
-------------------------------------------------
Theorema II.
Manente $${\footnotesize n}$$ numero primo, omnis potentia, cuius exponens eft $${\footnotesize n^{m-1}(n-1)}$$, diuifa per $${\footnotesize n^m}$$ vel $${\footnotesize 0}$$ vel $${\footnotesize 1}$$ relinquit.
定理 II
引き続き$${\footnotesize n}$$を素数とすると
指数が$${\footnotesize n^{m-1}(n-1)}$$
である任意の冪を$${\footnotesize n^m}$$で割れば
その余りは$${\footnotesize 0}$$または$${\footnotesize 1}$$となる.
-------------------------------------------------
Theorema III.
Sint $${\footnotesize m,n,p,q}$$, etc. numeri primi inaequales, fitque $${\footnotesize A}$$ minimus communis diuiduus eorum vnitate minutorum, puta ipforum $${\footnotesize m-1,\; n-1,\; p-1,\; q-1}$$, etc. his poftis dico omnem potentiam exponentis $${\footnotesize A}$$ vt $${\footnotesize a^A}$$ diuisam per mnpq etc. vel $${\footnotesize 0}$$ vel $${\footnotesize 1}$$ relinquere, nifi $${\footnotesize a}$$ diuidi poffit per aliquem horum numerorum, $${\footnotesize m,n,p,q}$$ etc.
定理 III
$${\footnotesize m,n,p,q,\ldots}$$ を互いに異なる素数とする.
さらに$${\footnotesize A}$$を$${\footnotesize m-1,\;n-1,\;p-1,\;q-1,\ldots}$$
の最小公倍数とする.
このとき指数が$${\footnotesize A}$$である任意の冪$${\footnotesize a^A}$$を
$${\footnotesize mnpq\cdots}$$で割ると余りは$${\footnotesize 0}$$または$${\footnotesize 1}$$となる.
ただし$${\footnotesize a}$$が$${\footnotesize m,n,p,q,\ldots}$$のいずれかで割り切れる場合は除く.
-------------------------------------------------
Theorema IV.
Denotante $${\footnotesize 2n+1}$$ numerum primum poterit $${\footnotesize 3^n+1}$$ diuidi per $${\footnotesize 2n+1}$$, fi fit vel $${\footnotesize n=6p+2}$$ vel $${\footnotesize n=6p+3}$$ : at $${\footnotesize 3^n-1}$$ diuidi poterit per $${\footnotesize 2n+1}$$ fi fit vel $${\footnotesize n=6p}$$ vel $${\footnotesize n=6p-1.}$$
定理 IV
$${\footnotesize 2n+1}$$が素数であるとする.
このとき$${\footnotesize n=6p+2}$$または$${\footnotesize n=6p+3}$$ならば
$${\footnotesize 3^n+1}$$は$${\footnotesize 2n+1}$$で割り切れる.
一方$${\footnotesize n=6p}$$または$${\footnotesize n=6p-1}$$ならば
$${\footnotesize 3^n-1}$$は$${\footnotesize 2n+1}$$で割り切れる.
-------------------------------------------------
Theorema V.
$${\footnotesize 3^n+2^n}$$ poteft diuidi per $${\footnotesize 2n+1}$$ fi fit $${\footnotesize n=}$$ vel $${\footnotesize 12p+3}$$, vel $${\footnotesize 12p+5}$$, vel $${\footnotesize 12p+6}$$, vel $${\footnotesize 12p+8.}$$
定理 V
$${\footnotesize 3^n+2^n}$$は$${\footnotesize 2n+1}$$で割り切れる.
ただし$${\footnotesize n}$$が$${\footnotesize 12p+3,12p+5,12p+6,12p+8}$$
のいずれかである場合である.
⸻
Atque $${\footnotesize 3^n-2^n}$$ poteft diuidi per $${\footnotesize 2n+1}$$, fi fit $${\footnotesize n=}$$ vel $${\footnotesize 12p}$$, vel $${\footnotesize 12p+2}$$, vel $${\footnotesize 12p+9}$$, vel $${\footnotesize 12p+11.}$$
さらに$${\footnotesize 3^n-2^n}$$は$${\footnotesize 2n+1}$$で割り切れる.
ただし$${\footnotesize n}$$が$${\footnotesize 12p,12p+2,12p+9,12p+11}$$
のいずれかである場合である.
-------------------------------------------------
Theorema VI.
Sub iisdem conditionibus quibus $${\footnotesize 3^n+2^n}$$ poterit etiam $${\footnotesize 6^n+1}$$ diuidi per $${\footnotesize 2n+1}$$; atque $${\footnotesize 6^n-1}$$ sub iisdem, quibus $${\footnotesize 3^n-2^n.}$$
定理 VI
定理 V において$${\footnotesize 3^n+2^n}$$が$${\footnotesize 2n+1}$$
で割り切れるのと全く同じ条件の下で
$${\footnotesize 6^n+1}$$もまた$${\footnotesize 2n+1}$$で割り切れる.
また$${\footnotesize 3^n-2^n}$$が割り切れるのと同じ条件の下で
$${\footnotesize 6^n-1}$$も$${\footnotesize 2n+1}$$で割り切れる.
-------------------------------------------------

3.  Historical supplement.
【歴史的補足】

-------------------------------------------------
この論文全体の数論史上の位置づけ

数論史上の重要性
この論文で最も有名なのは
$${\footnotesize 2^{32}+1=4294967297=641\times6700417}$$
であることを示し
フェルマーが
「すべての$${\footnotesize 2^{2^m}+1}$$は素数である」
と予想したことを初めて反証した点です.

当時の位置づけ
この論文は、
* フェルマー数
* メルセンヌ数
* 完全数
* 可除性定理
を一つの論文で扱った最初期の研究であり
その4年後の1736年執筆・1741年出版
Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio（E54）
へと発展し、そこでオイラーは現在の**フェルマーの小定理（Euler–Fermat theorem の原型）**の最初の完全な証明を与えます.
-------------------------------------------------

4.  【古典数学】原論文の講読

-------------------------------------------------
⭐️1640年12月25日　Pierre de Fermatの
「Lettre de M. de Fermat à M. Mersenne,
    du 25 Décembre 1640」
(1640年12月25日付フェルマー氏よりメルセンヌ氏宛書簡)👇

-------------------------------------------------
⭐️1738年　Leonhard Eulerの
「Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes」
(いくつかの算術定理の証明)👇

-------------------------------------------------
⭐️1770年　Joseph-Louis Lagrange の
「Démonstration d’un Théorème d’Arithmétique」
四平方定理論文👇

-------------------------------------------------

5.  Reference【参考文献】

-------------------------------------------------

https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1025&context=euler-works

-------------------------------------------------