【古典数学：原論文の講読】 第45書簡「XLV .Fermat à Mersenne. Mardi 25 Décembre 1640」Pierre de Fermat 1640年(クリスマス書簡)
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$${\rm Published}$$ $${\rm Online}$$ $${\rm First}$$ $${\rm (6/21/2026)}$$
$${\rm Latest}$$ $${\rm additions}$$ $${\rm(6/21/2026)}$$
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1. Introduction【はじめに】
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1.はじめに
この記事では
【フェルマーの1640年書簡】を紹介します.
【フェルマーの1640年書簡】
フェルマーからメルセンヌへの手紙
1640年12月25日
『Œuvres de Fermat』Tome II, p.212–217
は19～20世紀のTannery–Henry版全集
のページ番号です.👇
https://dn711305.ca.archive.org/0/items/oeuvresdefermat942ferm/oeuvresdefermat942ferm.pdf
この書簡全体の数論史上の位置づけ
この1640年12月の書簡は現存するフェルマーの
数論書簡の中でも最重要級です.
ここでフェルマーは証明なしに次の事実を列挙しています.
1. 二平方和定理
$${\footnotesize \rm p\equiv1\pmod4 \Rightarrow p=x^2+y^2}$$
2. 二平方和表示の一意性
3. 素数冪の二平方和表示数
4. 斜辺となる直角三角形の個数公式
$${\footnotesize \rm \dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
5. その逆問題
6. 積が平方数となる二数の差の個数公式
そして最後に
「もっと美しい結果がある」
とだけ述べて終わっています.
そのため、この書簡は後の
$${\footnotesize \rm Leonhard~Euler}$$や$${\footnotesize \rm Carl~Friedrich~Gauss}$$
による二平方和理論の発展を理解する上で、
最も重要な一次史料の一つとされています.
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実際にこの1640年12月のメルセンヌ宛書簡は、内容的には既に1本の数論論文になっています.
ただし書簡なので、話題が飛びながら進みます.
もしフェルマー自身がこれを整理して論文として出版したなら、内容の順番をほぼ維持しながら、次のような構成になると思います.
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Pierre de Fermat’s Letter to Mersenne (1640): Complete Text and Japanese Translation.
【ピエール・ド・フェルマーのメルセンヌ宛書簡(1640年):全文と日本語訳】
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第1章 序論
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Correspondence with Frénicle
* フレニクルへの問い
* 未解決問題の提示
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FERMAT À MERSENNE.
(フェルマーからメルセンヌへの書簡)
Mardi 25 décembre 1640
(1640年12月23日火曜日)
Mon Révérend Père,
尊敬する神父様へ.
(メルセンヌは修道士なのでPèreと呼んでいる)
1-
Je languissois dans l’attente de vos lettres et de M. de Frenicle.
私はあなたとフレニクル氏からのお便りを待ちわびておりました.
Je suis bien aise qu’il approuve ce que j’ai fait.
私の行ったことを彼が認めてくださったことを大変うれしく思います.
voici trois questions que je lui propose
そこで私は彼に三つの問題を提案します.
pource que les spéculations que j’y ai faites ne me satisfont pas pleinement
というのも、この件について私が行った考察にはまだ十分満足していないからです.
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第2章 フェルマー数について
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1° On Numbers of the Form 2^{2^n}+1.
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1°
La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257,etc. à l’infini, sont toujours nombres premiers;
第一問題
3, 5, 17, 257など無限に続く数が、なぜ常に素数となるのか、その本質的理由.
解説
ここで挙げられている$${\small 3,\;5,\;17,\;257}$$は
$${\small 2^{2^n}+1}$$の形である.
具体的には
$${\small 3=2^{2^0}+1}$$
$${\small 5=2^{2^1}+1}$$
$${\small 17=2^{2^2}+1}$$
$${\small 257=2^{2^3}+1}$$
である.
現在ではフェルマー数$${\small \rm (Fermat~numbers)}$$
と呼ばれる.
フェルマーはこの時点で$${\small 2^{2^n}+1}$$
はすべて素数だと考えていた.
しかし後に$${\small 65537=2^{2^4}+1}$$の次の
$${\small 4294967297=2^{2^5}+1}$$について
$${\small \rm Leonhard~Euler}$$が
$${\small 4294967297=641\times6700417}$$
を発見し、予想が誤りであることが分かった.
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第3章 図形数と素数
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2° On Finding Infinitely Many Prime Numbers among Figurate Numbers.
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2°
Qu’il me donne quelqu’un de ses autres moyens pour trouver l’infinité des nombres premiers de tels nombres de figures qu’on voudra.
第二問題
任意の形の数について無限個の素数を見つけるための、彼の別の方法を教えてほしい.
Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie
この点について、私のある考えが正しいかどうか知りたい.
qu’en la progression d’un nombre pair, comme 6, toutes les puissances +1 de la progression qui ont pour exposant 1, 2, 4, 8, 16, etc. sont nombres premiers si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci : 3, 5, 17, 257, etc.
偶数を底とする等比的な列において、その指数が
$${\footnotesize 1,2,4,8,16,\ldots}$$
である冪に$${\footnotesize 1}$$を加えた数は素数である.
ただし、それらが $${\footnotesize 3, 5, 17, 257, … }$$のいずれかで割り切れない場合に.
laquelle proposition, si elle est vraie, est de très grand usage.
この命題が真であれば、非常に大きな有用性を持つ.
Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers
il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière car déjà j’ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part après que j’aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle.
もし私が$${\footnotesize 3、5、17、257}$$などが素数である根本理由を把握できれば、
私はこの分野で非常に美しい結果を発見できると思う.
なぜなら私は既に驚くべき事実をいくつか発見しているからである.
あなたとフレニクル氏の返答を得た後で、それらをお知らせしよう.
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第4章 指数と約数
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3° On Divisors Related to Exponents.
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3°
Je lui demande un moyen plus général que celui que j’ai inventé pour savoir quels sont les multiples de l’exposant utiles à la division.
Après cela, je travaillerai aux propositions que vous me demandez.
私が考案したものよりも一般的な方法を彼に求める.
指数のどの倍数が除法に役立つかを知るために.
その後で、あなたが私に求めている命題に取り組むつもりである.
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第5章 二平方和定理
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4° Fundamental Theorem on Right Triangles.
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4°
Sur le sujet des triangles rectangles, voici mes fondements :
直角三角形に関する私の基本原理は次の通りである.
第1原理
Tout nombre premier, qui surpasse de l’unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule fois l’hypoténuse d’un triangle rectangle.
現代記法
$${\footnotesize p\equiv1\pmod4}$$なる素数$${\footnotesize p}$$に対し
$${\footnotesize p=x^2+y^2}$$となる.
しかも表示は本質的に一意.
【注釈】
「斜辺」であるとは$${\footnotesize p=a^2+b^2}$$なら
$${\footnotesize (a,b,p)}$$はピタゴラス三つ組になる.
したがって$${\footnotesize p}$$は直角三角形の斜辺である.
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第6章 素数冪の二平方和表示数
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5° Powers of a Prime as Sums of Two Squares.
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第2原理
Le même nombre et son quarré sont chacun une fois la somme de deux quarrés;
現代的意味
$${\footnotesize p}$$と$${\footnotesize p^2}$$
はそれぞれ一通りだけ二平方和表示を持つ.
Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de deux quarrés;
$${\footnotesize p^3,\quad p^4}$$
は二通り.
Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de deux quarrés;
$${\footnotesize p^5,\quad p^6}$$
は三通り.
Etc., à l’infini.
$${\footnotesize p^n}$$
の本質的な二平方和表示数は
$${\footnotesize \left\lfloor \dfrac n2\right\rfloor+1}$$
となる.
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第3原理
Ce même nombre étant une fois l’hypoténuse d’un triangle rectangle, son quarré l’est deux fois, son cube trois, son quarréquarré quatre, etc. à l’infini.
この数自身は一通りだけ直角三角形の斜辺となるが、その平方は二通り、その立方は三通り、その四乗は四通り、以下同様に無限に続く.
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第7章 直角三角形の斜辺個数
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6° Number of Right Triangles Having a Given Hypotenuse.
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6°
Étant donné un nombre pour savoir combien de fois il est l’hypoténuse d’un triangle rectangle
与えられた数が何通りの直角三角形の斜辺になるかを知りたいとする.
divisez-le par tous les nombres premiers, plus grands de l’unité qu’un multiple du quaternaire, qui le mesurent.
まず、その数を割る$${\footnotesize 4k+1}$$型素数をすべて取り出しなさい.
Puis rangez les exposants des puissances des dits nombres premiers
次に、それらの素数の指数を並べなさい.
Multipliez le premier par le second deux fois, et à cela ajoutez la somme du premier et du second.
第一指数を$${\footnotesize a}$$、第二指数を$${\footnotesize b}$$
とすると$${\footnotesize 2ab+a+b}$$を作れという意味.
puis multipliez cette dernière somme deux fois par le troisième
第三指数を$${\footnotesize c}$$とすると
$${\footnotesize 2(2ab+a+b)c}$$に$${\footnotesize (2ab+a+b)+c}$$を加える.
現代的整理、少し計算すると
$${\footnotesize 2ab+a+b=\dfrac{(2a+1)(2b+1)-1}{2}}$$
フェルマーの規則は実は
$${\footnotesize \dfrac{(2\alpha_1+1)(2\alpha_2+1)\cdots(2\alpha_r+1)-1}{2}}$$
に等しい.
帰納的に
$${\footnotesize S_1=\alpha_1}$$
$${\footnotesize S_{n+1}=2S_n\alpha_{n+1}+S_n+\alpha_{n+1}}$$
と定義すると
$${\footnotesize 2S_{n+1}+1=(2S_n+1)(2\alpha_{n+1}+1)}$$
となる.
したがって
$${\footnotesize 2S_r+1=\prod_{i=1}^{r}(2\alpha_i+1)}$$
なので
$${\footnotesize S_r=\dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}.}$$
La dernière somme marquera à combien de triangles le nombre donné peut servir d’hypoténuse.
最後に得られる数が、その与えられた数を斜辺とする直角三角形の個数である.
現代定理との比較
現代では
$${\footnotesize N=2^e\prod p_i^{\alpha_i}\prod q_j^{\beta_j}}$$
ただし
$${\footnotesize p_i\equiv1\pmod4,\qquad q_j\equiv3\pmod4}$$
とすると
$${\footnotesize N}$$を斜辺とする直角三角形の個数は
$${\footnotesize \dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
で与えられる.
具体例
$${\footnotesize N=65=5\cdot13}$$
指数は
$${\footnotesize 1,\;1}$$
フェルマーの規則：
$${\footnotesize 2(1)(1)+1+1=4}$$
65=16^2+63^2
65=25^2+60^2
65=33^2+56^2
65=39^2+52^2
で4通り.
【歴史的重要性】
これは単なる経験則ではありません.
フェルマーはここで事実上、
$${\footnotesize r_2(N)=4\prod(\alpha_i+1)}$$
（二平方和表示数公式）
の特殊形を理解しており
そこから
斜辺となる直角三角形の個数公式
を導いています.
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第8章 逆問題
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Construction of Numbers Having a Prescribed Number of Right Triangles.
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Les nombres premiers qui sont moindres de l’unité qu’un multiple du quaternaire, ni 2, non plus que leurs puissances, ne font rien à la question
$${\footnotesize 4k-1}$$型素数および$${\footnotesize 2}$$
その冪はこの問題に何の影響も与えない.
et n’augmentent ni ne diminuent le nombre des dits triangles rectangles.
それらは直角三角形の個数を増やしも減らしもしない.
現代的意味
もし$${\footnotesize N=2^a\prod p_i^{\alpha_i}\prod q_j^{\beta_j}}$$で
$${\footnotesize p_i\equiv1\pmod4,\qquad q_j\equiv3\pmod4}$$なら
三角形の個数は$${\footnotesize \alpha_i}$$だけで決まり
$${\footnotesize a,\beta_j}$$には依存しない.
フェルマーはそれを知っている.
Soit, par exemple, un nombre donné mesuré par 5, par le quarré de 13, par le cube de 17, et par le cube aussi de 29.
与えられた数
$${\footnotesize N=5^1\cdot13^2\cdot17^3\cdot29^3\times M}$$
ここで$${\footnotesize M}$$は$${\footnotesize 2}$$や
$${\footnotesize 4k-1}$$型素数からなる部分.
指数
$${\footnotesize 1,\quad2,\quad3,\quad3}$$
1°Je multiplie le premier par le second deux fois : viendra 4
第1段階
2(1)(2)=4
ajoutez-y le premier et le second : viendra 7
4+1+2=7
2°Je multiplie 7 par le troisième 3 deux fois
2(7)(3)=42
auquel ajoutant 7 et 3, c’est 52
42+7+3=52
3°Je multiplie 52 par le quatrième (qui est 3) deux fois
2(52)(3)=312
auquel ajoutant 52 et 3, viendra 367
312+52+3=367
Je dis donc que le nombre donné sera l’hypoténuse de 367 triangles rectangles et non plus.
よって与えられた数は、367個の直角三角形の斜辺となり、それ以上でも以下でもない.
現代公式との照合
指数
$${\footnotesize 1,\ 2,\ 3,\ 3}$$
について
$${\footnotesize \dfrac{(2\cdot1+1)(2\cdot2+1)(2\cdot3+1)(2\cdot3+1)-1}{2}}$$
を計算する.
$${\footnotesize =\dfrac{3\cdot5\cdot7\cdot7-1}{2}}$$
$${\footnotesize =\dfrac{735-1}{2}}$$
$${\footnotesize =367}$$
完全一致.
フェルマーの公式は
$${\footnotesize T(N)=\dfrac{\prod_{p\equiv1(4)}(2\alpha_p+1)-1}{2}}$$
である.
ここで
$${\footnotesize N=2^e\prod_{p\equiv1(4)}p^{\alpha_p}\prod_{q\equiv3(4)}q^{\beta_q}.}$$
現代では
$${\footnotesize r_2(N)=4\prod_{p\equiv1(4)}(\alpha_p+1)}$$
という二平方和表示数公式が知られている.
フェルマーはそれをまだ記号化していないが
$${\footnotesize p=x^2+y^2}$$
を知っていただけではなく
実質的にはそこから導かれる
「斜辺となる直角三角形の個数公式」
を1640年に既に把握している.
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第9章 斜辺個数の最小化問題
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Least Number Having Exactly m Right Triangles.
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5°
Pour trouver, par exemple, le moindre nombre de tous ceux qui sont 367 fois seulement l’hypoténuse d’un triangle rectangle je double le nombre donné et au dit double j’ajoute l’unité viendra 735
例えば、ちょうど$${\footnotesize 367}$$通りの直角三角形の斜辺となる数のうち最小のものを求めるには、与えられた数を$${\footnotesize 2}$$倍し、それに$${\footnotesize 1}$$を加える.
$${\footnotesize 735}$$が得られる.
duquel je prends tous les diviseurs séparément
その因数をすべて取り出す.
因数分解
$${\footnotesize 735=3\cdot5\cdot7\cdot7.}$$
le dit nombre se trouve donc divisé aux dites conditions par $${\footnotesize 3, 5, 7, 7}$$
この数は上記の意味で$${\footnotesize 3, 5, 7, 7}$$に分解される.
J’ôte de chacun des dits diviseurs l’unité et prends la moitié du reste
各因数から1を引き、その残りの半分を取る.
計算
$${\footnotesize \dfrac{3-1}{2}=1}$$
$${\footnotesize \dfrac{5-1}{2}=2}$$
$${\footnotesize \dfrac{7-1}{2}=3}$$
$${\footnotesize \dfrac{7-1}{2}=3}$$
viendra 1, 2, 3, 3
一致します.
先ほどの公式
$${\footnotesize T(N)=\dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
を逆に解いている.
$${\footnotesize 367}$$から
$${\footnotesize 2\cdot367+1=735=3\cdot5\cdot7\cdot7}$$
を得る.
すると$${\footnotesize 2\alpha_i+1=3,5,7,7}$$
なので$${\footnotesize \alpha_i=1,2,3,3.}$$
Il faut donc prendre quatre nombres premiers plus grands de l’unité qu’un multiple du quaternaire
したがって$${\footnotesize 4k+1}$$型素数を$${\footnotesize 4}$$個取らねばならない。
et prendre leurs puissances exposées par les dits quatre nombres
そして先ほど得た$${\footnotesize 4}$$つの指数をそれらに付ける。
つまり
$${\footnotesize p_1^1 p_2^2 p_3^3 p_4^3.}$$
(最小解を作る)
Que si vous voulez le moindre nombre satisfaisant à la question
もし最小の解が欲しいなら
il faudra prendre les quatre plus petits nombres premiers 5, 13, 17, 29 celle du plus petit ait le plus grand exposant
最も小さい4つの適当な素数を取る.
フェルマーが選ぶ素数
つまり$${\footnotesize 5,\ 13,\ 17,\ 29.}$$
最初の$${\footnotesize 4}$$つの$${\footnotesize p\equiv1\pmod4}$$素数
最小の素数に最大の指数を与える.
これは最小値問題のため.
指数$${\footnotesize 3,3,2,1}$$を$${\footnotesize 5,13,17,29}$$に対応させる.
したがって
$${\footnotesize N=5^3\cdot13^3\cdot17^2\cdot29.}$$
$${\footnotesize 5^3=125}$$
$${\footnotesize 13^3=2197}$$
$${\footnotesize 17^2=289}$$
$${\footnotesize 29=29}$$
これらを順に掛ける.
$${\footnotesize 125\cdot2197=274625}$$
$${\footnotesize 274625\cdot289=79\,376\,625}$$
$${\footnotesize 79\,376\,625\cdot29=2\,301\,922\,125.}$$
結論
フェルマーの主張する最小数は
$${\footnotesize 2\,301\,922\,125}$$
です.
フェルマーはここで
$${\footnotesize T(N)=\dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
を単に使うだけでなく
その逆問題$${\footnotesize T(N)=m}$$を解き
さらに「そのような$${\footnotesize N}$$の最小値」
まで求めています.
これは現代的には
二平方和表示数関数の逆問題
に相当します.
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この部分は、フェルマーが直前に与えた
$${\footnotesize T(N)=\dfrac{\prod (2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
($${\footnotesize N}$$を斜辺とする直角三角形の個数)
の逆問題の一般論です.
実はこの箇所はかなり洗練されていて
現代記法に直すと一気に明瞭になります.
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第1文
Il s’ensuit de là que si le double du nombre donné, plus 1, est nombre premier…
そこから、もし与えられた数の2倍に1を加えたものが素数であるならば、
現代記法
三角形の個数を$${\footnotesize m}$$とすると
$${\footnotesize 2m+1}$$が素数の場合.
第2文
en ce cas le nombre cherché ne peut être divisé que par un seul nombre premier plus grand de l’unité qu’un multiple du quaternaire.
その場合、求める数は$${\footnotesize 4k+1}$$型素数をただ$${\footnotesize 1}$$つしか持つことができない.
なぜか
フェルマー公式
$${\footnotesize m=\dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
から
$${\footnotesize 2m+1=\prod(2\alpha_i+1).}$$
もし$${\footnotesize 2m+1}$$が素数なら
右辺は一因子しか持てない.
したがって
$${\footnotesize 2\alpha+1=2m+1.}$$
つまり
$${\footnotesize \alpha=m.}$$
(具体例)
Comme si vous demandez un nombre qui serve d’hypoténuse à 20 triangles rectangles et non plus…
例えば、ちょうど$${\footnotesize 20}$$個の直角三角形の斜辺となる数を求めるとする.
$${\footnotesize 2\times20+1=41.}$$
pource que 41 est nombre premier
$${\footnotesize 41}$$は素数なので.
(結論)
il faut prendre la 20e puissance d’un nombre premier de la qualité requise.
求める数は、適当な$${\footnotesize 4k+1}$$型素数の$${\footnotesize 20}$$乗でなければならない.
現代的証明
$${\footnotesize 41=2\alpha+1}$$だから$${\footnotesize \alpha=20.}$$
したがって$${\footnotesize N=p^{20},\qquad p\equiv1\pmod4.}$$
最小解は$${\footnotesize 5^{20}.}$$
Vous trouverez, par conséquence aisée, un nombre qui ait autant de diviseurs différents que vous voudrez…
この結果から、望むだけ多くの異なる因子を持つ数を容易に構成できる.
$${\footnotesize 2m+1}$$の因数分解を自由に選べば
$${\footnotesize \prod (2\alpha_i+1)}$$も自由に作れる.
つまり$${\footnotesize N=\prod p_i^{\alpha_i}}$$を好きな形で構成できる.
et qui puisse satisfaire à la question, lorsqu’elle est possible.
そして、その問題に解が存在する限り、それを満たす数を構成できる.
(注意書き)
J’entends des diviseurs de la qualité requise
ここで言う因子とは、前述の性質を持つ因子である.
つまり$${\footnotesize p\equiv1\pmod4}$$型素数.
car vous y en pouvez mettre autant que vous voudrez de ceux qui sont moindres de l’unité qu’un multiple de 4
なぜなら$${\footnotesize 4k-1}$$型素数はいくら掛けてもよいからである.
ou bien 2 et telle de ses puissances que vous voudrez.
また$${\footnotesize 2}$$やその任意の冪を掛けてもよい.
フェルマーは既に$${\footnotesize q\equiv3\pmod4}$$型素数や
$${\footnotesize 2}$$が三角形の個数公式に影響しないことを知っている.
(最後)
Je vous écris ceci si fort à la hâte que je ne prends pas garde si je fais des fautes et omets beaucoup de choses dont je vous dirai le menu une autre fois.
私はこれをあまりに急いで書いているので、
誤りがあっても気づかないかもしれない.
また多くのことを省略している.
それらの詳細は別の機会にお話ししよう.
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第10章 楕円への応用
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Application to Ellipses.
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この箇所は、先ほどまでの「直角三角形の斜辺の個数」の理論を別の問題へ応用している部分です.
内容的には
1. 楕円（ellipses）の問題
2. 「平方数を積にもつ二数の差」の問題
の二つに分かれています.
後半は現代数論的にもかなり興味深いので、順に厳密に見ていきます.
(楕円の問題)
Pour la question des ellipses, elle se déduira fort aisément de ce que vous venez de voir
楕円の問題は、今見た結果から容易に導かれる.
フェルマーは先ほど説明した
$${\footnotesize T(N)=\dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
を使えば十分だと言っている.
car la question va là à trouver un nombre qui serve d’hypoténuse à 12 triangles et non plus
その問題は、ちょうど12個の直角三角形の斜辺となる数を求めることに帰着する.
ここで既に楕円問題が「斜辺の個数問題」
へ還元されている.
de telle qualité que la dite hypoténuse ait plus grande proportion au plus grand des deux autres côtés que le dit plus grand au moindre
その斜辺と大きい方の辺との比が
大きい方の辺と小さい方の辺との比より大きい.
現代的表現
三角形$${\footnotesize a < b < c}$$について
$${\footnotesize \dfrac{c}{b} > \dfrac{b}{a}.}$$つまり$${\footnotesize ac > b^2.}$$
c’est-à-dire que chacun des dits triangles soit comme, par exemple, 29, 21, 20
例えば$${\footnotesize (20,21,29)}$$のような三角形である.
実際
$${\footnotesize 20^2+21^2=29^2.}$$
ayant trouvé le dit nombre, son quarré sera le demi-diamètre des ellipses
その数を求めれば
その平方が楕円の半径（半径線）になる.
ここはフェルマーの楕円幾何学の特殊問題に関係する.
完全な背景は別の論文を見ないと復元できない.
Il le faut quarrer afin que la perpendiculaire sur le foyer soit un nombre entier.
焦点への垂線の長さを整数にするため、その数を平方しなければならない。
ここは整数解を持つ楕円問題.
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第11章 平方積をもつ二数の差
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On Differences of Two Numbers Whose Product Is a Square.
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(新しい問題ここからが数論的に面白い.)
J’ajoute encore qu’une toute pareille règle à la précédente des hypoténuses sert à cette question
斜辺の場合と全く同様の規則が、次の問題にも適用できる.
(問題の提示)
Étant donné un nombre, déterminer combien de fois il est la différence de deux nombres desquels le produit est un nombre quarré.
与えられた数が
積が平方数となる二数の差として何通りに表されるかを求めよ.
つまり
$${\footnotesize x-y=N}$$
かつ
$${\footnotesize xy=z^2.}$$
Et n’y a que cette différence, qu’en cette question tous les nombres premiers hormis 2 sont utiles
違いはこの問題では 2 を除くすべての素数が有効であることだけである.
先ほどとの違い、斜辺問題では
$${\footnotesize p\equiv1\pmod4}$$のみ関与した.
今回は$${\footnotesize p\equiv3\pmod4}$$型素数も関与する.
(具体例)
Comme, si un nombre est mesuré par 3 et par le quarré de 5
例えば$${\footnotesize N=3\cdot5^2}$$とする.
⸻
指数
$${\footnotesize 1,\quad2.}$$
⸻
フェルマーの計算
multipliez le premier par le second deux fois
$${\footnotesize 2(1)(2)=4.}$$
⸻
à quoi ajoutant leur somme
$${\footnotesize 4+(1+2)=7.}$$
⸻
viendra 7
結果
$${\footnotesize 7.}$$
⸻
結論
Vous pouvez donc assurer que 75 est 7 fois la différence de deux nombres desquels le produit fait un quarré.
現代的意味
$${\footnotesize 75=3\cdot5^2}$$は
$${\footnotesize x-y=75,\qquad xy=z^2}$$
を満たす解を$${\footnotesize 7}$$通り持つ.
実はここでも同じ式
$${\footnotesize \dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
が出現している.
ただし今度は
2以外の全素数の指数を使う.
(最後)
Pour avoir le plus petit, vous userez de même voie.
最小のものを求めるには先ほどと同じ方法を用いればよい.
つまり前節の$${\footnotesize 2m+1}$$を因数分解して
指数を復元する逆算法がそのまま使える.
この箇所は興味深く
フェルマーは
1. 二平方和表示
2. 斜辺個数
3. 楕円問題
4. $${\footnotesize xy=z^2}$$を満たす二数の差の個数
をすべて同じ乗法的構造
$${\footnotesize \prod(2\alpha_i+1)}$$
で統一的に扱っています.
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第12章 結語
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Further Propositions.
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これでこの書簡の結びの部分です.
内容としては数学的主張よりも、メルセンヌとフレニクルへの私信の色彩が強くなります.
しかし数論史的には興味深い一文も含まれています.
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第1文
… la chose est assez aisée, de quoi je vous écrirai séparément, si vous voulez.
その方法は十分容易なので、もし望まれるなら別便で詳しくお知らせしましょう.
直前の
$${\footnotesize x-y=N,\qquad xy=z^2}$$
の問題について
フェルマーは詳細はまだ書かないと言っている.
これはこの書簡全体に共通する態度で
定理だけ述べて証明を省略している.
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第2文
De cette dernière question, on peut tirer l’invention d’hyperboles au lieu d’ellipses, etc.
この最後の問題からは、楕円の場合と同様に双曲線の構成も導くことができる.
直前の
$${\footnotesize x-y=N,\qquad xy=z^2}$$
の問題が
フェルマーにとっては単なる整数論ではなく
円錐曲線（楕円・双曲線）の整数点問題と結び付いていたことが分かる.
17世紀では
整数論と解析幾何はまだ厳密に分離されていない.
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第3文
Dès que M. de Frénicle m’aura écrit…
フレニクル氏から返事が届き次第、
ここでの人物は
Bernard Frénicle de Bessy
です.
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第4文
je lui donnerai des propositions
私は彼にいくつかの命題を与えよう.
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第5文
que je juge, sans me flatter
自惚れで言うのではないが
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第6文
qu’il estimera incomparablement plus belles que tout ce dont nous avons encore parlé.
彼は、それらをこれまで語ったどの結果よりもはるかに美しいものだと認めるだろう.
これは非常に興味深い.
なぜなら、この書簡ですでにフェルマーは
* 二平方和定理
* 斜辺個数公式
* 逆問題
* フェルマー数
を語っている.
それにもかかわらず
「もっと美しい結果を持っている」
と言っている.
Je suis,
Mon Révérend Père,
Votre très humble serviteur
敬具
尊敬する神父様.
あなたの最も謙虚な僕(しもべ)より.
(17世紀フランス書簡の定型句です.)
署名
FERMAT.
フェルマー
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2. Historical supplement.
【歴史的補足】
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この書簡全体の数論史上の位置づけ
この1640年12月の書簡は、現存するフェルマーの数論書簡の中でも最重要級です.
ここでフェルマーは証明なしに次の事実を列挙しています.
1. 二平方和定理
$${\footnotesize p\equiv1\pmod4\Rightarrow p=x^2+y^2}$$
2. 二平方和表示の一意性
3. 素数冪の二平方和表示数
4. 斜辺となる直角三角形の個数公式
$${\footnotesize \dfrac{\prod(2\alpha_i+1)-1}{2}}$$
5. その逆問題
6. 積が平方数となる二数の差の個数公式
そして最後に
「もっと美しい結果がある」
とだけ述べて終わっています.
数学史家の間では
この「さらに美しい結果」が何を指すのかは
確定していません.
候補として
* 無限降下法
* 合同数問題
* 四平方和関係
* 高次不定方程式
などが挙げられます.
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この書簡がもし本当に論文化されていたなら
一番自然な論文題名は？
この書簡全体の重心は
読んでいくとフェルマー数ではなく
$${\footnotesize p=x^2+y^2}$$
から始まる
* 二平方和理論
* ピタゴラス三つ組理論
* 斜辺個数公式
にあります.
De Triangulis Rectangulis et Numeris ex Duobus Quadratis Compositis.
（直角三角形と二平方和で表される数について）
という題名が最もフェルマーらしく
内容にも合っていると思われます.
実際、書簡の半分以上はこのテーマに費やされています.
これは1770年の Joseph-Louis Lagrange の
四平方定理論文より130年も前に書かれた、
成熟した二平方和理論のスケッチと見ることができます.
1770年の Joseph-Louis Lagrange の
四平方定理論文👇
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3. Reference【参考文献】
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『Œuvres de Fermat』Tome II, p.212–217
19～20世紀のTannery–Henry版全集
https://dn711305.ca.archive.org/0/items/oeuvresdefermat942ferm/oeuvresdefermat942ferm.pdf
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