【古典数学：原論文の講読】 第44書簡「XLIV. EULER à GOLDBACH. 1742」Leonhard Euler.1742年(オイラーからゴールドバッハへ書簡)

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$${\rm Published}$$  $${\rm Online}$$  $${\rm First}$$  $${\rm (7/11/2026)}$$
$${\rm Latest}$$  $${\rm additions}$$  $${\rm(7/11/2026)}$$
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1.  Introduction【はじめに】

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1.はじめに
この記事では
第44書簡
【XLIV. オイラーからゴールドバッハへ】
を紹介します.

この書簡の中にあの有名な
「ゴールドバッハ予想」の返信内容があります.

Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres
géomètres du XVIIIème siècle
Fuss, Paul Heinrich
St.-Pétersbourg, 1843-1845
ETH-Bibliothek Zürich

18世紀の著名な幾何学者たちの
数学・物理学書簡集
編者：パウル・ハインリヒ・フス
サンクトペテルブルク、1843–1845年
チューリッヒ工科大学図書館
(ETH図書館)所蔵・電子版
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第1章　近況報告と最近の研究
第2章　逆冪級数の新しい総和公式
第3章　三角関数による逆冪級数の総和
第4章　複素指数・余弦公式の応用
第5章　整数論に関する考察
第6章　二平方和定理の一般化
第7章　ゴールドバッハ予想について
第8章　ある代数方程式について
第9章　対数級数の幾何学的説明
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XLIV.
EULER à GOLDBACH.
Berlin d. 30 Juni 1742.
Complete Text and Japanese Translation.
第44書簡
オイラーからゴールドバッハ宛書簡
ベルリン、1742年6月30日(新暦)
【全文と日本語訳】
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2.  Complete Text and Japanese Translation.(全文と日本語訳)

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第1章　近況報告と最近の研究

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SOMMAIRE.
Travaux d’Euler. Sommation des séries des puissances réciproques. Formules à exposans imaginaires. Recherches sur les nombres et diviseurs. Sur les deux théorèmes de la lettre précédente.
概要
オイラーの研究.
逆数冪級数の総和.
虚数指数を用いる公式.
整数および約数に関する研究.
前書簡に述べられた二つの定理について.
⸻
Ich werde nun bald wieder eine Dissertation nach Paris schicken Sur la meilleure manière d’observer l’inclinaison de l’aiguille aimantée, und da ich bei dieser Gelegenheit auf die theoriam magnetis meditirt, so habe ich endlich ein sehr simples und den legibus naturae gemässes systema gefunden, wodurch ich alle proprietates und phaenomena magnetis et ferri auf eine sehr leichte und deutliche Art erklären kann, über welche Materie ich künftiges Jahr eine pièce nach Paris senden werde.
私は近いうちに再びパリへ一篇の論文を送る予定です.それは「磁針の伏角を観測する最良の方法について」という題のものです.この機会に私は磁気の理論について熟考し、ついに極めて簡潔で自然法則に適合した一つの体系を見いだしました.それによって磁石と鉄のあらゆる性質および現象を非常に容易かつ明瞭に説明することができます.この主題については、来年さらに一篇の論文をパリへ送るつもりです.
⸻
Letztens habe ich wiederum eine pièce nach Petersburg de oscillationibus pendulorum flexibilium geschickt, und nächstens wird hier der 7te tomus Miscellaneorum zum Vorschein kommen, darin ich eine ziemliche Anzahl Piècen gegeben.
先ごろ私は再び「de oscillationibus pendulorum flexibilium(可撓振子の振動について)」という一篇の論文をペテルブルクへ送りました.そして、まもなくこちらでは『Miscellaneorum（雑録）』第7巻が印刷に回される予定でその中に私はかなりの数の論文を収めています.
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第2章　逆冪級数の新しい総和公式

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Einige davon handeln von einer neuen Art die summas serierum potestatum reciprocarum zu finden.
そのうちのいくつかは、逆数冪級数の総和を求める新しい方法について論じています.
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Erstlich habe ich eine Methode gegeben alle formulas differentiales rationales zu integriren, da dann das integrale, wenn dasselbe nicht algebraicum ist, entweder a logarithmis, oder a quadratura circuli, oder von beiden zugleich dependiret.
まず私はすべての有理微分式を積分する方法を与えました.その結果、積分が代数的でない場合には、それは対数に依存するか、円積問題(円周率)に依存するか、あるいはその両方に同時に依存することになります.
⸻
Hieraus habe ich das integrale dieser Formul
$${\footnotesize \int \dfrac{x^{m-1}-x^{\,n-m-1}}{1-x^n}\,dx}$$
generaliter exprimirt und dabei gefunden, dass wenn man setzt $${\footnotesize x=1}$$, alsdann im integrali sich die membra logarithmica destruïren, und nur diejenigen, so a quadratura circuli dependiren, übrigbleiben, welche zusammengenommen endlich auf diese Expression $${\footnotesize \dfrac{\pi\cos\dfrac{m}{n}\pi}{n\sin\dfrac{m}{n}\pi}}$$ reducirt werden.
ここから私は次の積分$${\footnotesize \int \dfrac{x^{m-1}-x^{\,n-m-1}}{1-x^n}\,dx}$$
を一般的に表し、その際$${\footnotesize x=1}$$と置くと積分中の対数項は互いに打ち消し合い、円積問題(すなわち $${\footnotesize \pi}$$)に由来する項だけが残り
それらをまとめると最終的に$${\footnotesize \dfrac{\pi\cos\dfrac{m}{n}\pi}{n\sin\dfrac{m}{n}\pi}}$$
という式に帰着することを見いだしました.
⸻
Hierauf habe ich die Formul
$${\footnotesize \int \dfrac{x^{m-1}-x^{\,n-m-1}}{1-x^n}\,dx}$$
per series integrirt, modo ordinario, und nachdem ich $${\footnotesize x=1}$$ gesetzt, diese Aequation gefunden
$${\footnotesize \dfrac{\pi\cos\dfrac{m}{n}\pi}{n\sin\dfrac{m}{n}\pi}=\dfrac1m-\dfrac1{n-m}+\dfrac1{n+m}-\dfrac1{2n-m}+\dfrac1{2n+m}-\dfrac1{3n-m}+\cdots}$$
さらに私は同じ積分を通常の方法で級数展開によって積分し、その後$${\footnotesize x=1}$$を代入すると、次の等式を得ました.
$${\footnotesize \dfrac{\pi\cos\dfrac{m}{n}\pi}{n\sin\dfrac{m}{n}\pi}=\dfrac1m-\dfrac1{n-m}+\dfrac1{n+m}-\dfrac1{2n-m}+\dfrac1{2n+m}-\dfrac1{3n-m}+\cdots}$$
⸻
alwo $${\footnotesize 1 : π}$$ rationem diametri ad peripheriam bedeutet, und folglich posito radio, seu sinu toto $${\footnotesize = 1}$$, die halbe peripheria oder der arcus 180° durch π angedeutet wird; und also wird $${\footnotesize \dfrac{m}{n}\pi}$$ ein arcus determinatus, davon man den sinum und cosinum anzeigen kann.
ここで$${\footnotesize 1 : \pi}$$は直径と円周との比を意味し、したがって半径すなわち全正弦を$${\footnotesize 1}$$と置けば半円周、すなわち 180° の弧は$${\footnotesize \pi}$$によって表されます.
ゆえに$${\footnotesize \dfrac{m}{n}\pi}$$は正弦および余弦を定めることのできる一定の弧を表します.
⸻
Nun setze ich $${\footnotesize \dfrac{m}{n}=x}$$, so kommt diese series heraus
$${\footnotesize \dfrac{\pi\cos\pi x}{\sin\pi x}=\dfrac1x-\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}-\dfrac1{2-x}+\dfrac1{2+x}-\dfrac1{3-x}+\cdots}$$
ここで$${\footnotesize \dfrac{m}{n}=x}$$と置くと、次の級数が得られます.
$${\footnotesize \dfrac{\pi\cos\pi x}{\sin\pi x}=\dfrac1x-\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}-\dfrac1{2-x}+\dfrac1{2+x}-\dfrac1{3-x}+\cdots}$$
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第3章　三角関数による逆冪級数の総和

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Setzt man $${\footnotesize x=\dfrac14}$$, so wird $${\footnotesize \pi}$$ $${\footnotesize x=45^\circ}$$ und $${\footnotesize cos\,\pi x=\dfrac1{\sqrt2}}$$, et $${\footnotesize sin\,\pi x=\dfrac1{\sqrt2}}$$, und folglich
$${\footnotesize \pi=\dfrac41-\dfrac43+\dfrac45-\dfrac47+\dfrac49-}$$ etc.
$${\footnotesize x=\dfrac14}$$と置くと$${\footnotesize \pi x=45^\circ}$$となり、
$${\footnotesize \cos(\pi x)=\dfrac1{\sqrt2},\qquad \sin(\pi x)=\dfrac1{\sqrt2}}$$
となります.したがって
$${\footnotesize \pi=4-\dfrac43+\dfrac45-\dfrac47+\dfrac49-\cdots}$$
という級数が得られます.
⸻
Hieraus kann man aber per differentiationem auf höhere potestates kommen, denn sumto $${\footnotesize x}$$ variabili, ist $${\footnotesize d.\cos\pi x=-\pi\,dx\sin\pi x}$$
und $${\footnotesize d.\sin\pi x=\pi\,dx\cos\pi x;}$$ dahero wird
$${\footnotesize d.\dfrac{\pi\cos\pi x}{\sin\pi x}=\dfrac{-\pi\pi\,dx(\sin\pi x)^2-\pi\pi\,dx(\cos\pi x)^2}{(\sin\pi x)^2}=\dfrac{-\pi\pi\,dx}{(\sin\pi x)^2}}$$
ob
$${\footnotesize (\sin\pi x)^2+(\cos\pi x)^2=1,}$$ nempe quadrato radii.
さらに、ここから微分によってより高い冪の級数を得ることができます.
x を変数とすると$${\footnotesize d(\cos\pi x)=-\pi\sin(\pi x)\,dx,}$$
また$${\footnotesize d(\sin\pi x)=\pi\cos(\pi x)\,dx}$$です.
したがって$${\footnotesize d\!\left(\dfrac{\pi\cos\pi x}{\sin\pi x}\right)=-\dfrac{\pi^2\,dx}{(\sin\pi x)^2},}$$
ここで
$${\footnotesize (\sin\pi x)^2+(\cos\pi x)^2=1}$$
を用いました.これは半径を$${\footnotesize 1}$$とした円について成り立つ恒等式です.
⸻
Also wenn die series auch differentirt wird, so kommt
$${\footnotesize -\dfrac{\pi\pi\,dx}{(\sin\pi x)^2}=-\dfrac{dx}{xx}-\dfrac{dx}{(1-x)^2}-\dfrac{dx}{(1+x)^2}-\dfrac{dx}{(2-x)^2}-\dfrac{dx}{(2+x)^2}-}$$ etc.,
und durch $${\footnotesize -dx}$$ dividirt
$${\footnotesize \dfrac{\pi\pi}{(\sin\pi x)^2}=\dfrac1{xx}+\dfrac1{(1-x)^2}+\dfrac1{(1+x)^2}+\dfrac1{(2-x)^2}+\dfrac1{(2+x)^2}+}$$ etc.
したがって級数を項別に微分すると
$${\footnotesize -\dfrac{\pi^2\,dx}{(\sin\pi x)^2}=-\dfrac{dx}{x^2}-\dfrac{dx}{(1-x)^2}-\dfrac{dx}{(1+x)^2}-\dfrac{dx}{(2-x)^2}-\dfrac{dx}{(2+x)^2}-\cdots}$$
となります.さらに両辺を$${\footnotesize -dx}$$で割ると
$${\footnotesize \dfrac{\pi^2}{(\sin\pi x)^2}=\dfrac1{x^2}+\dfrac1{(1-x)^2}+\dfrac1{(1+x)^2}+\dfrac1{(2-x)^2}+\dfrac1{(2+x)^2}+\cdots}$$
を得ます.
⸻
Setzt man $${\footnotesize x=\dfrac14}$$, weil $${\footnotesize sin\dfrac14\pi=\dfrac1{\sqrt2}}$$, so wird
$${\footnotesize 2\pi\pi=\dfrac{16}1+\dfrac{16}9+\dfrac{16}{25}+}$$ etc.
oder
$${\footnotesize \dfrac{\pi\pi}8=\dfrac1{1}+\dfrac1{3^2}+\dfrac1{5^2}+\dfrac1{7^2}+}$$ etc.
ここで $${\footnotesize x=\dfrac14}$$と置くと
$${\footnotesize \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac1{\sqrt2}}$$
であるから
$${\footnotesize 2\pi^2=16+\dfrac{16}{9}+\dfrac{16}{25}+\cdots}$$
すなわち
$${\footnotesize \dfrac{\pi^2}{8}=1+\dfrac1{3^2}+\dfrac1{5^2}+\dfrac1{7^2}+\cdots}$$
となります.

⸻
Man kann aber auch weiter differentiren, und solchergestalt ad summas quarumque potestatum gelangen, denn es wird
$${\footnotesize d.\dfrac{\pi\pi}{(\sin\pi x)^2}=\dfrac{-2\pi^3dx\cos\pi x}{(\sin\pi x)^3}=-\dfrac{2dx}{x^3}+\dfrac{2dx}{(1-x)^3}-\dfrac{2dx}{(1+x)^3}+}$$ etc.
さらに微分を続けることによって、任意の冪の逆数級数の総和へ到達することもできます.
すなわち
$${\footnotesize d\!\left(\dfrac{\pi^2}{(\sin\pi x)^2}\right)=-\dfrac{2\pi^3\cos(\pi x)}{(\sin\pi x)^3}\,dx}$$
となり、一方で級数側を微分すると
$${\footnotesize -\dfrac{2dx}{x^3}+\dfrac{2dx}{(1-x)^3}-\dfrac{2dx}{(1+x)^3}+\cdots}$$
が得られます.
⸻
und folglich
$${\footnotesize \dfrac{\pi^{3}\cos\pi x}{(\sin\pi x)^{3}}=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{(1-x)^{3}}+\dfrac{1}{(1+x)^{3}}-\dfrac{1}{(2-x)^{3}}+\dfrac{1}{(2+x)^{3}}-}$$ etc.
したがって
$${\footnotesize \dfrac{\pi^{3}\cos(\pi x)}{(\sin(\pi x))^{3}}=\dfrac{1}{x^{3}}-\dfrac{1}{(1-x)^{3}}+\dfrac{1}{(1+x)^{3}}-\dfrac{1}{(2-x)^{3}}+\dfrac{1}{(2+x)^{3}}-\cdots}$$
という等式が得られます.
⸻
Sit $${\footnotesize x=\dfrac14}$$, erit
$${\footnotesize 2\pi^{3}=\dfrac{64}{1}-\dfrac{64}{3^{3}}+\dfrac{64}{5^{3}}-\dfrac{64}{7^{3}}+}$$ etc.
ここで$${\footnotesize x=\dfrac14}$$と置けば、
$${\footnotesize 2\pi^{3}=64-\dfrac{64}{3^{3}}+\dfrac{64}{5^{3}}-\dfrac{64}{7^{3}}+\cdots}$$
すなわち
$${\footnotesize \dfrac{\pi^{3}}{32}=1-\dfrac{1}{3^{3}}+\dfrac{1}{5^{3}}-\dfrac{1}{7^{3}}+\cdots}$$
という級数が得られます.
⸻
Solchergestalt finde ich also die summas omnium potestatum und noch viel generaler als durch die vorhergebrauchte Methode, weil ich hier loco $${\footnotesize x}$$ quamcunque fractionem substituiren kann.
このようにして、私はすべての冪の逆数級数の総和を求めることができます.そしてこの方法は先に用いた方法よりもはるかに一般的です.
というのも、ここでは$${\footnotesize x}$$の代わりに任意の分数を代入することができるからです.
⸻
Diese Methode habe ich dem Hn. Nicolao Bernoulli nach Basel geschrieben und erwarte darüber noch seine Meinung.
私はこの方法をバーゼルのニコラウス・ベルヌーイ氏へ書き送り、この件について彼の意見をいまなお待っています.
⸻
Ich erinnere mich aber, dass Ew. schon vormals angemerkt haben, dass wenn man die Summ von dieser serie
$${\footnotesize \dfrac1{a+\alpha x}+\dfrac1{b+\beta x}+\dfrac1{c+\gamma x}+}$$ etc.,
wisse, man daraus per differentiationem die Summ von dieser finden könne
$${\footnotesize \dfrac{\alpha^{\,n-1}}{(a+\alpha x)^n}+\dfrac{\beta^{\,n-1}}{(b+\beta x)^n}+\dfrac{\gamma^{\,n-1}}{(c+\gamma x)^n}+}$$ etc.,
wovon meine summatio hier ein casus ist.
しかし私は、あなたが以前すでに、
$${\footnotesize \dfrac1{a+\alpha x}+\dfrac1{b+\beta x}+\dfrac1{c+\gamma x}+\cdots}$$
という級数の和が分かれば、それを微分することによって
$${\footnotesize \dfrac{\alpha^{\,n-1}}{(a+\alpha x)^n}+\dfrac{\beta^{\,n-1}}{(b+\beta x)^n}+\dfrac{\gamma^{\,n-1}}{(c+\gamma x)^n}+\cdots}$$
という級数の和も求めることができる、
とご指摘になっていたことを思い出しました.
私のこの総和法は、その一つの特別な場合です.
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第4章　複素指数・余弦公式の応用

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Generaliter ist
$${\footnotesize 2^{p\sqrt{-1}}+2^{-p\sqrt{-1}}=2\cos A.p\,l2.}$$
一般に
$${\footnotesize 2^{pi}+2^{-pi}=2\cos\!\bigl(p\log 2\bigr)}$$
が成り立ちます.

⸻
Wenn also
$${\footnotesize 2^{p\sqrt{-1}}+2^{-p\sqrt{-1}}=0}$$
seyn soll, so muss $${\footnotesize pl2}$$ einem solchen arcui circuli gleich seyn, dessen cosinus $${\footnotesize = 0.}$$
したがって
$${\footnotesize 2^{pi}+2^{-pi}=0}$$
となるためには$${\footnotesize p\log 2}$$は余弦が$${\footnotesize 0}$$になる円弧に等しくなければなりません.

⸻
Diese Eigenschaft aber haben alle arcus in hac formula contenti $${\footnotesize \dfrac{(2n+1)\pi}{2},}$$
und folglich wird $${\footnotesize p=\dfrac{(2n+1)\pi}{2\,l2}.}$$
その性質をもつ円弧はすべて$${\footnotesize \dfrac{(2n+1)\pi}{2}}$$
という形で表されます.
したがって$${\footnotesize p=\dfrac{(2n+1)\pi}{2\,log 2}}$$となります.
⸻
Dahero posito $${\footnotesize p=\dfrac{(2n+1)\pi}{2\,l2}}$$ oder
$${\footnotesize 2^{p\sqrt{-1}}+2^{-p\sqrt{-1}}=0,}$$ so wird
$${\footnotesize 2^{xp\sqrt{-1}}+2^{-xp\sqrt{-1}}=2\cos A.\dfrac{(2n+1)x\pi}{2}.}$$
ゆえに$${\footnotesize p=\dfrac{(2n+1)\pi}{2\,log 2}}$$と置けば
(すなわち$${\footnotesize 2^{pi}+2^{-pi}=0}$$となるように取れば)
$${\footnotesize 2^{xpi}+2^{-xpi}=2\cos\!\left(\dfrac{(2n+1)x\pi}{2}\right)}$$となります.
⸻
Wenn also seyn soll
$${\footnotesize 2^{qp\sqrt{-1}}+2^{-qp\sqrt{-1}}=2^{rp\sqrt{-1}}+2^{-rp\sqrt{-1}},}$$
so muss
$${\footnotesize \cos A.\dfrac{(2n+1)q\pi}{2}=\cos A.\dfrac{(2n+1)r\pi}{2}.}$$
したがって
$${\footnotesize 2^{qp\sqrt{-1}}+2^{-qp\sqrt{-1}}=2^{rp\sqrt{-1}}+2^{-rp\sqrt{-1}}}$$
となるためには、
$${\footnotesize \cos\!\left(\dfrac{(2n+1)q\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\dfrac{(2n+1)r\pi}{2}\right)}$$
でなければなりません.
⸻
Die cosinus aber von zweyen verschiedenen arcubus sind einander gleich, wenn entweder die summa oder differentia arcuuum gleich ist einem multiplo von der gantzen Peripherie $${\footnotesize 2\pi.}$$
ところが、二つの異なる円弧の余弦が等しくなるのは、それらの和または差が円周全体$${\footnotesize 2\pi}$$の整数倍である場合です.
⸻
Dahero wird $${\footnotesize \dfrac{(2n+1)q\pi}{2} \pm \dfrac{(2n+1)r\pi}{2}=2m\pi}$$
und folglich $${\footnotesize q\pm r=\dfrac{4m}{2n+1},}$$
so dass seyn wird
$${\footnotesize 2^{\left(\frac{4m}{2n+1}-q\right)p\sqrt{-1}}+2^{-\left(\frac{4m}{2n+1}-q\right)p\sqrt{-1}}=2^{qp\sqrt{-1}}+2^{-qp\sqrt{-1}},}$$
worin alles dasjenige enthalten ist, was Ew. von dieser Materie mir überschrieben haben.
したがって
$${\footnotesize \dfrac{(2n+1)q\pi}{2}\pm\dfrac{(2n+1)r\pi}{2}=2m\pi}$$
すなわち
$${\footnotesize q\pm r=\dfrac{4m}{2n+1}}$$
となります.したがって
$${\footnotesize 2^{\left(\frac{4m}{2n+1}-q\right)pi}+2^{-\left(\frac{4m}{2n+1}-q\right)p i}=2^{qpi}+2^{-qpi}}$$
となり、この中には、この件についてあなたが私に書き送られた内容がすべて含まれています.
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第5章　整数論に関する考察

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Nicht nur alle Zahlen, welche diese Formul
$${\footnotesize 4mn-m-n}$$ gibt, sind enthalten in $${\footnotesize yy+y-xx,}$$ sondern gar alle mögliche Zahlen, welche sowohl in $${\footnotesize 4mn-m-n,}$$ als nicht darin begriffen sind, und also ist independenter
von diesem theoremate eine jede Zahl in dieser Formul $${\footnotesize uu+vv+v+yy+y-xx}$$
enthalten.
式$${\footnotesize 4mn-m-n}$$によって表されるすべての数が
$${\footnotesize yy+y-xx}$$の中に含まれるだけではなく
$${\footnotesize 4mn-m-n}$$
という形で表される数も、表されない数も含めて、あらゆる可能な数がそこに含まれます.
したがって、それは……
この定理によれば、あらゆる数は
$${\footnotesize uu+vv+v+yy+y-xx}$$
という式の中に含まれています.
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第6章　二平方和定理の一般化

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Hieraus lässt sich aber nichts ad resolutionem numeri cujuscque in numeros trigonales vel quadratos schliessen, und da ein jeder Buchstab $${\footnotesize u,\;v,\;y}$$ und $${\footnotesize x}$$ eine jegliche Zahl andeutet, so kann man nicht für $${\footnotesize u,\;\dfrac{zz+z}{4}+1}$$, noch für $${\footnotesize x,\;\dfrac{zz+z}{4}-1}$$ setzen, weilen diese formulae $${\footnotesize \dfrac{zz+z}{4}\pm1}$$ nicht mehr alle mögliche Zahlen geben, welche doch durch $${\footnotesize u}$$ und $${\footnotesize x}$$ angedeutet werden.
しかし、このことから任意の整数を三角数または平方数へ分解できるとは結論できません.
また、文字 $${\footnotesize u,\;v,\;y,\;x}$$はそれぞれ任意の整数を表しているので$${\footnotesize u}$$を$${\footnotesize \dfrac{zz+z}{4}+1}$$に、
あるいは$${\footnotesize x}$$を$${\footnotesize \dfrac{zz+z}{4}-1}$$に置き換えることはできません.
なぜなら、これらの式$${\footnotesize \dfrac{zz+z}{4}\pm1}$$
は$${\footnotesize u}$$や$${\footnotesize x}$$が表しているような「あらゆる整数」を与えるわけではないからです.
⸻
Denn da eine jede Zahl sogar in dieser Formul
$${\footnotesize uu-xx}$$ enthalten ist, so müsste, kraft dieser Substitution, auch eine jede Zahl in dieser $${\footnotesize zz+z}$$ enthalten, und also ein numerus trigonalis seyn.
実際、すべての整数は$${\footnotesize uu-xx}$$
という形で表せます.もし前述の置換が許されるなら、すべての整数は$${\footnotesize zz+z}$$
という形にも表されることになり、したがってすべての整数が三角数であるという誤った結論になってしまいます.
⸻
Wenn alle in dieser formula $${\footnotesize 2^{2^{\,m-1}}+1}$$ enthaltenen Zahlen nur unico modo in duo quadrata divisibiles wären, so müssten auch alle diese Zahlen nothwendig numeri primi seyn, welches aber nicht ist.
もし$${\footnotesize 2^{2^{\,m-1}}+1}$$という形のすべての数が
ただ一通りにしか二平方和へ分解できないのであれば、それらはすべて必ず素数でなければなりません.しかし実際にはそうではありません.
⸻
Denn alle diese Zahlen sind in dieser formula
$${\footnotesize 4m+1}$$ enthalten, welche so oft sie ein numerus primus ist, unfehlbar in duo quadrata, hocque unico modo, resolviret werden kann.
というのも、これらの数はすべて$${\footnotesize 4m+1}$$という形に属しており
この形の数が素数である場合には、必ず二つの平方数の和に、しかもただ一通りに分解できるからです.
⸻
So oft aber $${\footnotesize 4m+1}$$ kein numerus primus ist, so ist dieselbe Zahl entweder gar nicht resolubilis in duo quadrata oder pluribus uno modis.
しかし$${\footnotesize 4m+1}$$の形の数が素数でない場合には、その数は二平方和に全く分解できないか、あるいは二通り以上の方法で分解できます.
⸻
Dass aber $${\footnotesize 2^{32}+1,}$$ welche Zahl kein numerus primus ist, zum wenigsten duobus modis in duo quadrata divisibilis sey, kann ich also zeigen:
そして$${\footnotesize 2^{32}+1}$$は素数ではありませんが
この数が少なくとも二通りの方法で二平方和に分解できることを、私は次のように示すことができます.
⸻
1.
Wenn $${\footnotesize a}$$ und $${\footnotesize b}$$ in duo quadrata resolubiles sind, so wird auch das Product $${\footnotesize ab}$$ in duo quadrata resolubile seyn;
1.
$${\footnotesize a}$$と$${\footnotesize b}$$がともに二平方和に分解できるならば、その積$${\footnotesize ab}$$もまた二平方和に分解できます.
⸻
2.
Si productum $${\footnotesize ab}$$ et alter factor $${\footnotesize a}$$ fuerint numeri in duo quadrata resolubiles, tum quoque alter factor $${\footnotesize b}$$ in duo quadrata erit resolubilis.
2.
積$${\footnotesize ab}$$と一方の因子$${\footnotesize a}$$がともに二平方和に分解できるならば、他方の因子$${\footnotesize b}$$もまた二平方和に分解できます.
⸻
Diese theoremata können rigidissime demonstriret werden.
これらの定理は、きわめて厳密に証明することができます.
⸻
Nun ist $${\footnotesize 2^{32}+1,}$$ welche Zahl in duo quadrata est resolubilis, nempe $${\footnotesize 2^{32}+1,}$$ divisibilis per $${\footnotesize 641=25^{2}+4^{2}.}$$
さて$${\footnotesize 2^{32}+1}$$
は二つの平方数の和に分解できる数です.
実際、この数は$${\footnotesize 641=25^{2}+4^{2}}$$
で割り切れます.
⸻
Dahero der andere factor, den ich brevitatis gratia $${\footnotesize b}$$ nennen will, gewiss auch eine summa duorum quadratorum.
したがって、もう一方の因子を簡単のために b}$$と呼ぶことにすると、この$${\footnotesize b}$$もまた必ず二つの平方数の和になります.
⸻
Sit $${\footnotesize b=pp+qq,}$$ ita ut sit
$${\footnotesize 2^{32}+1=(25^{2}+4^{2})(pp+qq),}$$ erit
$${\footnotesize 2^{32}+1=(25p+4q)^{2}+(25q-4p)^{2}}$$ et simul
$${\footnotesize 2^{32}+1=(25p-4q)^{2}+(25q+4p)^{2}}$$
und folglich zum wenigsten duobus modis eine summa duorum quadratorum.
いま$${\footnotesize b=p^{2}+q^{2}}$$とすると
$${\footnotesize 2^{32}+1=(25^{2}+4^{2})(p^{2}+q^{2})}$$ですから
ブラーマグプタの恒等式より
$${\footnotesize 2^{32}+1=(25p+4q)^{2}+(25q-4p)^{2}}$$であり
同時に$${\footnotesize 2^{32}+1=(25p-4q)^{2}+(25q+4p)^{2}}$$
とも表せます.したがって少なくとも二通りの二平方和表示をもちます.
⸻
Hieraus kann man nun die resolutionem duplicem a priori finden. Denn es wird $${\footnotesize p=2556}$$ et $${\footnotesize q=409}$$ und folglich
$${\footnotesize 2^{32}+1=65536^{2}+1^{2}=62264^{2}+20449^{2}.}$$
ここから二通りの分解を直接求めることができます.実際$${\footnotesize p=2556,q=409}$$となるので
$${\footnotesize 2^{32}+1=65536^{2}+1^{2}=62264^{2}+20449^{2}}$$
となります.
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第7章　ゴールドバッハ予想について

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Dass eine jegliche Zahl, welche in zwey numeros primos resolubilis ist, zugleich in quot, quis voluerit, numeros primos zertheilt werden könne, kann aus einer Observation, so Ew. vormals mit mir communicirt haben, dass nehmlich ein jeder numerus par eine summa duorum numerorum primorum sey, illustrirt und confirmirt werden.
二つの素数の和として表される任意の整数は、望むだけ多くの素数の和にも分解できることは、あなたが以前私に伝えてくださった「すべての偶数は二つの素数の和である」という考察によって説明し、裏付けることができます.
⸻
Denn, ist der numerus propositus $${\footnotesize n}$$ par, so ist er eine summa duorum numerorum primorum, und da $${\footnotesize n-2}$$ auch eine summa duorum numerorum primorum ist, so ist $${\footnotesize n}$$ auch eine summa trium, und auch quatuor u. s. f.
実際与えられた数$${\footnotesize n}$$が偶数ならば、それは二つの素数の和です.また$${\footnotesize n-2}$$も二つの素数の和であるので、そこへ素数$${\footnotesize 2}$$を加えれば$${\footnotesize n}$$は三つの素数の和にもなります.同様に四つ、さらにそれ以上の素数の和としても表すことができます.
⸻
Ist aber $${\footnotesize n}$$ ein numerus impar, so ist derselbe gewiss eine summa trium numerorum primorum, weil $${\footnotesize n-1}$$ eine summa duorum ist, und kann folglich auch in quotvis plures resolvirt werden.
一方$${\footnotesize n}$$が奇数であれば$${\footnotesize n-1}$$は偶数であり二つの素数の和ですから、それに$${\footnotesize 1}$$を加えることで$${\footnotesize n}$$は確実に三つの素数の和として表されます.そして同様に、任意の個数の素数の和へと分解することもできます.

⸻
Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theoremata, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.
しかし、すべての偶数が二つの素数の和で表されるという命題は、私は完全に正しい定理であると確信しています.ただし、その証明を与えることはできません.

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第8章　ある代数方程式について

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Dass $${\footnotesize \dfrac{p+2\pm\sqrt{(4p-m+3)}}{m}}$$ nimmer ein numerus integer werden könne, erhellet daher, weilen wenn man diese Formul einem numero integro $${\footnotesize n}$$ gleich setzt, herauskommt
$${\footnotesize p=mn\pm\sqrt{(4mn-1)};}$$ es kann aber $${\footnotesize 4mn-1}$$ kein quadratum seyn.
さらに$${\footnotesize \dfrac{p+2\pm\sqrt{(4p-m+3)}}{m}}$$が決して整数にならないことも、次のように分かります.これを整数$${\footnotesize n}$$に等しいと置けば
$${\footnotesize p=mn\pm\sqrt{4mn-1}}$$となります.しかし$${\footnotesize 4mn-1}$$は平方数になることがないため、この式は整数値を与えません.
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Ew. theoremata, dass wenn man ex aequatione $${\footnotesize v=c}$$, existente $${\footnotesize v}$$ functione quapiam ipsius $${\footnotesize x}$$, die radicem $${\footnotesize x}$$ finden kann, man auch ex hac aequatione $${\footnotesize v^{2n+1}=(2v+1)(v+1)^{\,n-1}}$$
den valorem ipsius $${\footnotesize x}$$ bestimmen könne, — hat mich zu ergründen viel Mühe gekostet, bis ich endlich gemerket, dass diese Aequation $${\footnotesize v^{2n+1}-(2v+1)(v+1)^{\,n-1}=0}$$ divisibilis sey per $${\footnotesize vv-v-1.}$$
あなたの定理、すなわち「$${\footnotesize v=c}$$という方程式から($${\footnotesize v}$$が$${\footnotesize x}$$のある関数であるとして)未知数$${\footnotesize x}$$を求めることができるならば、さらに
$${\footnotesize v^{2n+1}=(2v+1)(v+1)^{\,n-1}}$$
という方程式からも$${\footnotesize x}$$の値を決定できる」という定理について、その理由を理解するのに私は大変苦労しました.しかし最終的に、この方程式
$${\footnotesize v^{2n+1}-(2v+1)(v+1)^{\,n-1}=0}$$$${\footnotesize v^2-v-1}$$で割り切れることに気付きました.
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Denn es ist
$${\footnotesize v^{2n+1}-(2v+1)(v+1)^{\,n-1}=v\bigl(v^{2n}-(v+1)^n\bigr)+(vv-v-1)(v+1)^{\,n-1},}$$
und $${\footnotesize v^{2n}-(v+1)^n}$$
ist durch $${\footnotesize vv-(v+1)}$$ divisibilis.
実際には
$${\footnotesize v^{2n+1}-(2v+1)(v+1)^{\,n-1}=v\bigl(v^{2n}-(v+1)^n\bigr)+(v^2-v-1)(v+1)^{\,n-1}}$$
と変形でき、さらに$${\footnotesize v^{2n}-(v+1)^n}$$は
$${\footnotesize v^2-(v+1)}$$で割り切れます.
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Quicquid ergo sit $${\footnotesize n}$$, aequationi
$${\footnotesize v^{2n+1}=(2v+1)(v+1)^{\,n-1}}$$
satisfacit $${\footnotesize vv=v+1,}$$ und ist also
$${\footnotesize v=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2},}$$ aus welcher Aequation man per hypothesin die radicem $${\footnotesize x}$$ finden kann.
したがって$${\footnotesize n}$$がどのような値であっても
この方程式は$${\footnotesize v^2=v+1}$$を満たします.
ゆえに$${\footnotesize v=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}}$$となり
この方程式から仮定により未知数$${\footnotesize x}$$を求めることができます.
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第9章　対数級数の幾何学的説明

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Si concipiatur curva, cujus abscissa posita $${\footnotesize =x}$$, applicata sit
$${\footnotesize y=\dfrac{x}{1\cdot2^2}+\dfrac{x^2}{2\cdot2^4}+\dfrac{x^3}{3\cdot2^6}+\dfrac{x^4}{4\cdot2^8}+}$$ etc.
erit generaliter $${\footnotesize y=l\dfrac{4}{4-x},}$$ und folglich ist die curva eine logarithmica, darin die applicata zum asymtoto wird, wenn $${\footnotesize x=4.}$$
横座標を$${\footnotesize x}$$、縦座標を
$${\footnotesize y=\dfrac{x}{1\cdot2^2}+\dfrac{x^2}{2\cdot2^4}+\dfrac{x^3}{3\cdot2^6}+\dfrac{x^4}{4\cdot2^8}+\cdots}$$
とする曲線を考えると、一般には
$${\footnotesize y=\log\!\left(\dfrac{4}{4-x}\right)}$$となります.
したがって、この曲線は対数曲線であり$${\footnotesize x=4}$$がその漸近線になります.
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Es sey (Fig. 6) $${\footnotesize VCB}$$ eine logarithmica ordinaria asymtoton habens $${\footnotesize VD}$$, deren subtangens constans $${\footnotesize AT=1.}$$ Capiatur applicata $${\footnotesize AC=1,}$$ et ducta alia quacunque $${\footnotesize PM,}$$ positisque $${\footnotesize AP=t,}$$ et $${\footnotesize PM=u,}$$ erit $${\footnotesize t=lu,}$$ seu $${\footnotesize u\,dt=du.}$$
図6において$${\footnotesize VCB}$$を通常の対数曲線、その漸近線を$${\footnotesize VD}$$一定の部分接線を$${\footnotesize AT=1}$$とします.
また$${\footnotesize AC=1}$$とし、任意の縦線$${\footnotesize PM}$$を引き
$${\footnotesize AP=t,PM=u}$$と置けば$${\footnotesize t=\log u,}$$
すなわち$${\footnotesize u\,dt=du}$$となります.
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Jam ducatur applicata $${\footnotesize DB=4AC=4,}$$ erit $${\footnotesize AD=l4,}$$ et ducta $${\footnotesize MQ,}$$ fiet $${\footnotesize BQ=x}$$ et $${\footnotesize QM=y}$$ pro casu proposito. Erit enim $${\footnotesize AP=t=l4-y}$$ et $${\footnotesize PM=u=4-x,}$$ unde ob $${\footnotesize t=lu}$$ erit $${\footnotesize l4-y=l(4-x)}$$ et $${\footnotesize y=l\dfrac{4}{4-x}.}$$
さらに$${\footnotesize DB=4AC=4}$$となるように取り
したがって$${\footnotesize AD=\log4}$$となります.
そして$${\footnotesize MQ}$$を引けば$${\footnotesize BQ=x,QM=y}$$となります.すると
$${\footnotesize AP=\log4-y,PM=4-x}$$であり、
$${\footnotesize t=\log u}$$より$${\footnotesize \log4-y=\log(4-x)}$$
すなわち$${\footnotesize y=\log\!\left(\dfrac4{4-x}\right)}$$が得られます.
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Sonsten haben Ew. pro summa seriei ipsi $${\footnotesize y}$$ aequalis casu $${\footnotesize x=1}$$ geschrieben
$${\footnotesize \dfrac13,}$$ da diese Summ ist $${\footnotesize =l.\dfrac43.}$$
なお、あなたはこの級数の和について、
$${\footnotesize x=1}$$の場合に$${\footnotesize \dfrac13}$$と書かれていました.
しかし実際の和は$${\footnotesize \log\!\left(\dfrac43\right)}$$です.
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Euler.
オイラー
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以上で
第44書簡は完結です.
(1742年6月30日付、Euler à Goldbach)
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3.  Historical supplement.
【歴史的補足】

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この書簡は単なる返信ではなく1742年時点の
オイラーの解析学・整数論・数論に関する
最新研究の報告書のような内容になっており
第7章のゴールドバッハ予想への言及が
数学史上もっとも有名な部分です.
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第44書簡（1742年6月30日）
オイラーからゴールドバッハへ
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第1章　近況報告と最近の研究(130頁)
* パリへ送る予定の磁気理論論文
* 磁石・磁力の新しい理論
* 振り子(Oscillationibus pendulorum flexibilium)の論文
* Miscellanea 第7巻への掲載予定論文
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第2章　逆冪級数の新しい総和公式(131頁)
* 有理微分式の積分法
* 積分公式の一般化
* 対数項の消去
* 円積分との関係
* 一般公式$${\footnotesize \dfrac{\pi\cos\dfrac{m\pi}{n}}{n\sin\dfrac{m\pi}{n}}=\dfrac1m-\dfrac1{n-m}+\cdots}$$
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第3章　三角関数による逆冪級数の総和(132頁)
* 特殊値 $${\footnotesize x=\dfrac14}$$
* ライプニッツ級数$${\footnotesize \pi=4\left(1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots \right)}$$
* 微分による高次級数
* バーゼル型級数$${\footnotesize \sum\dfrac1{(2n+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}}$$
* さらに三乗逆数級数への拡張
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第4章　複素指数・余弦公式の応用(133頁前半)
* 指数公式
* 三角関数との対応
* 一般恒等式
* ゴールドバッハが送った公式との比較
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第5章　整数論に関する考察(133〜134頁)
* 二次形式 $${\footnotesize yy+y-xx}$$
* 三角数との関係
* 任意整数表示
* 三角数表示が導けない理由
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第6章　二平方和定理の一般化(134〜135頁)
* フェルマー数$${\footnotesize 2^{32}+1}$$の考察
* 積が二平方和なら因子も二平方和
* ブラーマグプタの恒等式
* フェルマー数の二通りの分解
$${\footnotesize 2^{32}+1=65536^2+1^2=62264^2+20449^2}$$
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第7章　ゴールドバッハ予想について(135頁)
* 偶数は二つの素数の和である
* 奇数は三つ以上の素数の和となること
* 任意個の素数和への拡張
そして有名な一文
Dass aber ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theoremata, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.
(すべての偶数は二つの素数の和であるという命題は、私は全く確実な定理であると思うが、それを証明することはできない)
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第8章　ある代数方程式について(136頁前半)
* 方程式$${\footnotesize v^{2n+1}=(2v+1)(v+1)^{n-1}}$$
* 因数分解
* 黄金比$${\footnotesize v=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}}$$の導出
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第9章　対数級数の幾何学的説明(136頁後半)
* 級数$${\footnotesize \sum\dfrac{x^n}{n2^{2n}}}$$
* 対数関数$${\footnotesize \log\dfrac4{4-x}}$$との一致
* 対数曲線による証明
* ゴールドバッハの計算結果へのコメント
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4. 【古典数学：原論文の講読】

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【古典数学：原論文の講読】目次：Contents

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5.  Reference【参考文献】

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https://www.e-rara.ch/download/pdf/15664105.pdf

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