【古典数学：原論文の講読】 E100「De Numeris Amicabilibus」Leonhard Euler.1747年(友愛数について)

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$${\rm Published}$$  $${\rm Online}$$  $${\rm First}$$  $${\rm (7/7/2026)}$$
$${\rm Latest}$$  $${\rm additions}$$  $${\rm(7/7/2026)}$$
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1.  Introduction【はじめに】

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1.はじめに
この記事では
Eneström  E100
【De Numeris Amicabilibus】を紹介します.
（友愛数について）
Leonh. Eulero. 1747年

執筆・発表時期
Nova Acta Eruditorum
1747年5月号(Mensis Maji A. MDCCXLVII)
pp. 267–269
（ノヴァ・アクタ・エルディトルム）
に掲載.

Opera Omnia Series I, Vol. 2 pp.59–61 に再録.

第1章　数論研究の重要性
第2章　友愛数の定義
第3章　従来法(デカルト・スホーテン)の紹介
第4章　友愛数30組の一覧
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2.  第1章　数論研究の重要性

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L. E. DE NUMERIS AMICABILIBUS.
L. E. 友愛数（Amicable Numbers）について
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Problemata, quæ circa indolem ac proprietates numerorum verſantur, hoc tempore, quo Analyſis mathematica ad multo profundiores ſpeculationes aditum aperuit, fere penitus a Geometris derelicta videntur; ac plerique arbitrantur, contemplationem numerorum nihil prorſus ad augmentum Analyſeos conferre.
数の本性や性質に関する問題は、数学解析がはるかに深遠な研究への道を開いた今日では、ほとんど完全に幾何学者たちから顧みられなくなったように見える.そして多くの人々は、数について考察しても解析学の発展には全く寄与しない、と考えている.
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Verum tamen certe inveſtigatio proprietatum numerorum ſæpenumero multo majorem ſagacitatem requirit, quam ſubtiliſſimæ quæſtiones geometricæ; atque ob hanc ipſam cauſam quæſtiones arithmeticæ immerito iſtis poſtponi videntur.
しかし実際には、数の性質を探究することは、極めて精巧な幾何学上の問題よりもしばしば一層鋭い洞察力を必要とする.したがって、この理由からしても、算術の問題が幾何学の問題より劣るものと見なされるのは不当である.
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Ac ſumma quidem ingenia, quibus maxima Analyſeos incrementa accepta ſunt referenda, numerorum affectiones non indignas cenſuerunt, in quibus evolvendis plurimum operæ & studii collocarent.
実際、解析学の最も偉大な発展をもたらした最高の才能を持つ学者たちは、数の諸性質を研究することを決して軽視せず、その解明に多大な努力と研究を注いだのである.
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Carteſius ſcilicet conſtat, etiamsi ampliffimis cum univerſæ Philoſophiæ, tum Matheſeos meditationibus eſſet occupatus, tamen non parum in eruendis numeris amicabilibus deſudaſſe; quod negotium deinceps Schotenii majori studio eſt perfectus.
たとえばデカルトは、哲学全体や数学についての広範な研究に没頭していたにもかかわらず、友愛数を発見する研究にも少なからぬ努力を払ったことが知られている.そしてその仕事は、その後**スホーテン（Frans van Schooten）**によって、さらに熱心に進められた.

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第2章　友愛数の定義

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Vocantur autem numeri amicabiles, duo ejusmodi numeri, quorum alter, si ejus partes aliquotæ omnes in unam summam colligantur, alterum producat; cujusmodi numeri sunt $${\footnotesize 220}$$ & $${\footnotesize 284}$$;
さて友愛数(numeri amicabiles)とは、二つの数の組であって、一方の数のすべての真の約数（その数自身を除く約数）を合計すると他方の数になり、逆についても同じ性質が成り立つものである.その代表例が$${\footnotesize 220}$$と$${\footnotesize 284}$$である.
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prioris enim $${\footnotesize 220}$$ partes aliquotæ, seu divisores, ipso minores $${\footnotesize 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110}$$
実際、前者$${\footnotesize 220}$$の真の約数
すなわち$${\footnotesize 220}$$より小さい約数は
$${\footnotesize 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110}$$
である.
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summam præbent $${\footnotesize 284;}$$
これらを合計すると$${\footnotesize 284}$$になる.
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atque hujus numeri $${\footnotesize 284}$$ partes aliquotæ
$${\footnotesize 1+2+4+71+142}$$
また$${\footnotesize 284}$$の真の約数は、
$${\footnotesize 1+2+4+71+142}$$
である.
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vicissim producunt $${\footnotesize 220.}$$
これらを合計すると、逆に$${\footnotesize 220}$$が得られる.
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Nullum autem est dubium, quin præter hos duos numeros plures alii atque adeo infiniti dentur, qui eadem proprietate sint præditi;
しかし、この二つ以外にも同じ性質を備えた数の組がさらに多数、いや無数に存在するであろうことは疑いない.
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neque tamen Cartesius, & post eum Schotenius, plura, quam tria talium numerorum paria elicuerunt, etiamsi non parum studii ad plura eruenda impendisse videantur.
それにもかかわらず、デカルトおよびその後のスホーテンは、このような友愛数を三組より多く見いだすことはできなかった.しかも、彼らがさらに多くを発見しようとして少なからぬ努力を払ったことは明らかである.
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第3章　従来法(デカルト・スホーテン)の紹介

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Ac methodus quidem, qua uterque est usus, ita est comparata, ut ejus ope vix plures numeri amicabiles inveniri queant;
しかも、両者が用いた方法では、それ以上の友愛数を見つけ出すことはほとんど期待できない.
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assumserunt enim, hujusmodi numeros in his formulis $${\footnotesize 2ⁿxy}$$ & $${\footnotesize 2ⁿz}$$ contineri, ubi $${\footnotesize x, y,}$$ & $${\footnotesize z,}$$ numeros primos denotent;
というのも、彼らは友愛数が
$${\footnotesize 2^nxy,\qquad2^nz}$$
という形で表されると仮定していたからである.
ここで
$${\footnotesize x,\;y,\;z}$$
はいずれも素数である.
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quos ita comparatos esse oportet, ut sit primo
$${\footnotesize z = xy + x + y,}$$
そして、それらはまず次の条件を満たさなければならない.
$${\footnotesize z=xy+x+y}$$
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; tum vero ut fit $${\footnotesize 2ⁿ(x + y + 2) = xy + x + y + 1.}$$
さらに、
$${\footnotesize 2^n(x+y+2)=xy+x+y+1}$$
が成り立つものとする.
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Exponente ergo $${\footnotesize n}$$ ſucceſſive varios tribuerunt valores, ac pro ſingulis ejusmodi indagaverunt numeros primos $${\footnotesize x}$$ & $${\footnotesize y}$$, ut poſteriori æquationi ſatisſaceret: qui ſi ſimul tales fuerint, ut $${\footnotesize xy+x+y}$$ præberet numerum primum, formulæ aſſumtæ $${\footnotesize 2ⁿxy}$$ & $${\footnotesize 2ⁿz}$$ exhibebant numeros amicabiles.
そこで彼らは指数$${\footnotesize n}$$に順次さまざまな値を与え、それぞれについて後者の方程式を満たす素数$${\footnotesize x}$$と$${\footnotesize y}$$を探し求めた.そして、さらに
$${\footnotesize xy+x+y}$$
も素数となるならば、仮定した公式
$${\footnotesize 2^nxy,\qquad 2^nz}$$
は一組の友愛数を与えることになる.
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Facile autem intelligitur, hoc modo ad majores exponentes $${\footnotesize n}$$ procedendo, mox ad tantos numeros $${\footnotesize xy+x+y}$$ perveniri, qui utrum primi ſint, nec ne, diſcerni amplius nequeat, cum tabula numerorum primorum ultra 100000 nondum habeatur extenta.
しかし、この方法で指数$${\footnotesize n}$$を大きくしていくと、
$${\footnotesize xy+x+y}$$
は急速に非常に大きな数となり、それが素数か否かを判定することが困難になることは容易に理解できる.というのも、当時は十万を超える範囲までの素数表がまだ整備されていなかったからである.
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Perſpicuum autem eſt, hanc quæſtionem præter neceſſitatem non leviter reſtringi, dum numeri amicabiles in his tantum formulis aſſumtis includi aſſumantur.
しかも、この問題をこのような公式だけに限定して友愛数を求めようとすることは、必要以上に問題を狭めてしまうことは明らかである.
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Quod cum perpendiſſem, vocatis in ſubſidium nonnullis artificiis, ex natura diviſorum petitis, plura alia numerorum amicabilium paria ſum adeptus, quorum cum tribus jam notis triginta hic communicabo;
そこで私はこの点を十分に考察し、約数の性質から導かれるいくつかの方法を利用することによって、さらに多くの友愛数の組を発見した.ここでは、すでに知られていた三組を含め、全部で三十組を紹介する.
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eos autem, quo eorum origo & natura clarius perſpiciatur, per factores expreſſos exhibebo.
また、それらの由来と構造がより明瞭になるように、各数を素因数分解した形で示すことにする.
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Sunt igitur numeri amicabiles:
したがって、友愛数は次のとおりである.
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第4章　友愛数30組の一覧

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I. $${\footnotesize 2^2\cdot5\cdot11}$$&$${\footnotesize 2^2\cdot71}$$
II. $${\footnotesize 2^4\cdot23\cdot47}$$&$${\footnotesize 2^4\cdot1151}$$
III. $${\footnotesize 2^7\cdot191\cdot383}$$&$${\footnotesize 2^7\cdot73727}$$
IV. $${\footnotesize 2^2\cdot23\cdot5\cdot137}$$&$${\footnotesize 2^2\cdot23\cdot827}$$
V. $${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot11\cdot19}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot239}$$
VI. $${\footnotesize 3^2\cdot7\cdot13\cdot5\cdot17}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot7\cdot13\cdot107}$$
VII. $${\footnotesize 3^2\cdot7^2\cdot13\cdot5\cdot41}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot7^2\cdot13\cdot251}$$
VIII. $${\footnotesize 2^2\cdot5\cdot131}$$&$${\footnotesize 2^2\cdot17\cdot43}$$
IX. $${\footnotesize 2^2\cdot5\cdot251}$$&$${\footnotesize 2^2\cdot13\cdot107}$$
X. $${\footnotesize 2^3\cdot17\cdot79}$$&$${\footnotesize 2^3\cdot23\cdot59}$$
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XI. $${\footnotesize 2^4\cdot23\cdot1367}$$&$${\footnotesize 2^4\cdot53\cdot607}$$
XII. $${\footnotesize 2^4\cdot17\cdot10303}$$&$${\footnotesize 2^4\cdot107\cdot1103}$$
XIII. $${\footnotesize 2^4\cdot19\cdot8563}$$&$${\footnotesize 2^4\cdot83\cdot2039}$$
XIV. $${\footnotesize 2^4\cdot17\cdot5119}$$&$${\footnotesize 2^4\cdot239\cdot383}$$
XV. $${\footnotesize 2^5\cdot59\cdot1103}$$&$${\footnotesize 2^5\cdot79\cdot827}$$
XVI. $${\footnotesize 2^5\cdot37\cdot12671}$$&$${\footnotesize 2^5\cdot227\cdot2111}$$
XVII. $${\footnotesize 2^5\cdot53\cdot10559}$$&$${\footnotesize 2^5\cdot79\cdot7127}$$
XVIII. $${\footnotesize 2^6\cdot79\cdot11087}$$&$${\footnotesize 2^6\cdot383\cdot2309}$$
XIX. $${\footnotesize 2^2\cdot11\cdot17\cdot263}$$&$${\footnotesize 2^2\cdot11\cdot43\cdot107}$$
XX. $${\footnotesize 3^3\cdot5\cdot7\cdot71}$$&$${\footnotesize 3^3\cdot5\cdot17\cdot31}$$
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XXI. $${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot29\cdot79}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot11\cdot199}$$
XXII. $${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot19\cdot47}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot29\cdot31}$$
XXIII. $${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot19\cdot37\cdot1583}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot5\cdot13\cdot19\cdot227\cdot263}$$
XXIV. $${\footnotesize 3^3\cdot5\cdot31\cdot89}$$&$${\footnotesize 3^3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot29}$$
XXV. $${\footnotesize 2\cdot5\cdot7\cdot60659}$$&$${\footnotesize 2\cdot5\cdot23\cdot29\cdot673}$$
XXVI. $${\footnotesize 2^3\cdot31\cdot11867}$$&$${\footnotesize 2^3\cdot11\cdot163\cdot191}$$
XXVII. $${\footnotesize 3^2\cdot7\cdot13\cdot23\cdot79\cdot1103}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot7\cdot13\cdot23\cdot11\cdot19\cdot367}$$
XXVIII. $${\footnotesize 2^3\cdot47\cdot2609}$$&$${\footnotesize 2^3\cdot11\cdot59\cdot173}$$
XXIX. $${\footnotesize 3^3\cdot5\cdot23\cdot79\cdot1103}$$&$${\footnotesize 3^3\cdot5\cdot23\cdot11\cdot19\cdot367}$$
XXX. $${\footnotesize 3^2\cdot5^2\cdot11\cdot59\cdot179}$$&$${\footnotesize 3^2\cdot5^2\cdot17\cdot19\cdot359}$$
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3.  Historical supplement.
【歴史的補足】

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この論文全体の数論史上の位置づけ

友愛数関係では
E100 (1747) — 短い速報
E152 (1750) — 本格的な大論文(約80ページ)
E798 — 死後出版
の3本があり

数学史的にはE152の方がはるかに重要です.
E152ではオイラーが60組以上の友愛数を与え
その探索法も詳しく説明しています.

E100(1747)
新しい友愛数を発表する速報論文
1. 友愛数の歴史
   * 古代ギリシャ
   * Thābit ibn Qurra
   * Pierre de Fermat
   * René Descartes
2. 従来の生成法の限界
3. 新しく発見した約30組の友愛数を列挙.
ほとんど証明を書いていません.
「こんなに見つかった」という発表です.
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4. 【古典数学：原論文の講読】

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【古典数学：原論文の講読】目次：Contents

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5.  Reference【参考文献】

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https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1099&context=euler-works

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