Paralelogramo

Paralelogramoa
Lau paralelogramo mota
Mota	Laukia
Aldeak	4
Simetria-taldea	C2, [2]+, (22)

Geometriaren arloan, paralelogramoa aurkako aldeak paraleloak dituen lauki bat da. Paralelogramo baten kontrako aldeak luzera berdinekoak dira, eta kontrako angeluak neurri berdinekoak. Kontrako aldeen eta kontrako angeluen kongruentzia paraleloen postulatu euklidearraren ondorio zuzena da, eta bi baldintzetako bat ere ezin da frogatu paraleloen postulatu euklidearra edo haren formulazio baliokideren bat erabili gabe.

Paralelogramo hitza grezieratik dator (παραληλό-γραμμον, parallēló-grammon), "lerro paraleloen irudi geometriko bat" esan nahi duena.

Paralelogramo motak

Hauek dira paralelogramo motak:

• Laukizuzena - Lau angelu zuzen dituen paralelogramoa.

• Erronboa - Luzera berdineko lau alde dituen paralelogramoa.

• Karratua - Luzera berdineko lau alde eta lau angelu zuzen dituen paralelogramoa.
• Erronboidea - Luzera berdineko bi alde bakarrik dituen paralelogramoa.

Propietateak

Paralelogramo guztiek dituzten propietateak

• Lauki orok lau erpin ditu, lau alde eta barruko lau angelu.
• Paralelogramo baten kontrako aldeak paraleloak dira.
• Kontrako aldeak luzera berekoak dira (kongruenteak).
• Paralelogramo ororen barne-angeluen batura beti 360° da.
• Elkarren ondoan dauden bi erpinetako barne-angeluak betegarriak dira, hau da, 180º osatzen dute.
• Aurkako barne-angeluak neurri bera dute.
• Paralelogramo baten azalera bere diagonal batez eta irudiaren alboko aldeez osatutako triangelu baten azaleraren bikoitza da.
• Edozein zuzen ebakitzailek gehienez bi puntutan ebakitzen du paralelogramoa.
• Paralelogramo guztiak ganbilak dira.
• Paralelogramo baten diagonalak paralelogramoaren zentroan elkar erdibitzen dira.
• Paralelogramoaren zentroa haren barizentroa ere bada.
• Paralelogramo baten zentrotik igarotzen den edozein zuzen ebakitzailek bi zati berdinetan banatzen du bere azalera.
• Paralelogramo baten barizentrotik igarotzen den edozein zuzen planokide ere haren erdibidekoa da.
• Edozein transformazio afin ez-endekatuk paralelogramo bat beste paralelogramo bihurtzen du.
• Paralelogramo bat karratu bihurtzen duten transformazio afin kopuru infinitu bat dago.
• Homeomorfismo bat ezar daiteke paralelogramo baten eta zirkunferentzia baten artean.
• Translazio batek edo paralelogramo baten errotazio batek forma eta tamaina kontserbatzen ditu.

Paralelogramo desberdinen propietate bereziak

• Karratuak 4. ordenako (90º) errotazio-simetria du.
• Erronboideak, erronboak eta laukizuzenak 2. ordenako (180º) errotazio-simetria dute.
• Paralelogramo batek islapen-simetriaren ardatzik ez badu, erronboidea da.
• Paralelogramo batek islapen-simetriaren bi ardatz diagonal baditu, erronbo bat da.
• Paralelogramo batek bi islapen-simetria ardatz perpendikular baditu, karratua da.
• Paralelogramo batek islapen-simetriaren lau ardatz baditu, karratua da.

Propietate metriko komun batzuk

• Paralelogramo baten perimetroa 2(a + b) da, non a eta b alboko edozein bi alderen luzerak diren.
• Lau aldeen karratuen batura diagonalen karratuen batura da.
• Paralelogramo baten azalera kalkulatzeko, bi triangelu kongruentek eta laukizuzen batek osatutako irudia har daiteke, altuerak angelu kamutsen erpinetatik trazatuz.

Formulak

Paralelogramoaren formulak
Azalera	$A\,=\,a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\,\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|$ $A\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}}$
a altuera	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta ={\frac {A}{a}}$
b altuera	$h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta ={\frac {A}{b}}$
Diagonalak (kosinuaren teorema)	$f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$ $e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}$
Angeluak	$\alpha =\gamma \;\;\;\;\;\beta =\delta \;\;\;\;\;\beta =180^{\circ }-\alpha$

Nondik datozen azaleraren formulak

Paralelogramoa berrantolatu ahal da azalera berdinako laukizuzen batera.

Paralelogramoa berrantolatu ahal da azalera berdineko laukizuzen batera.

b oinarriko eta h altuerako paralelogramoa trapezoide batean eta triangelu angeluzuzen batean zatitu ahal da laukizuzen bat eratzeko, lehenengo irudian ikusten den moduan. Honek esan nahi du paralelogramoaren azalera izango dela honen oinarria eta altuera aldetzat dituen laukizuzen baten azaleraren berdina.

$K=bh.$

Paralelogramo originala urdinez eta txertatu egin ditugun triangeluak laranja.

Formula hau lortu ahal da halaber bigarren irudia erabiliz. Bigarren irudiaren paralelogramoaren azalera (urdinez margotuta), K, laukizuzen osoaren azalera da bi triangelu laranjen azalera kendu eta gero. Laukizuzen azalera

$K_{lz}=(B+A)\times H$

da, eta triangelu baten azalera, aldiz,

$K_{tri}={\frac {A}{2}}\times H$

da. Orduan, paralelogramoaren azalera

$K=K_{lz}-2\times K_{tri}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H$

da. Beste azaleraren formula bat aplikatu daiteke paralelogramoaren bi alde ez paraleloak (B eta C) eta θ angelua ditugunean:

$K=B\cdot C\cdot \sin {\theta }.$

Paralelogramoa erronbo bat bada, azalera kalkulatu ahal da lehen aipatutako aldeak (B eta C) eta $\gamma$ diagonalaren elkargunearen angelua erabiliz:

$K={\frac {|\tan {\gamma }|}{2}}\cdot |B^{2}-C^{2}|.$

Koordenada bektorialak erabiliz

Izan bitez ${\textbf {a,b}}\in \mathbb {R} ^{2}$ bektoreak eta izan bedi $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ a eta b-ren elementuak adierazten dituen matrizea. Orduan, a-k eta b-k sortzen duten paralelogramoaren azalera ondokoa da:

$|\det {V}|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|.$

Izan bitez ${\textbf {a,b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ bektoreak eta izan bedi $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}$. Orduan a-k eta b-k sortzen duten paralelogramoaren azalera ondokoa da:

${\sqrt {\det(VV^{T})}}.$

Izan bitez $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$ puntuak. Orduan, a, b eta c izkinaz dituen paralelogramoaren azalera zeinukatua a, b eta c ilaraz eta amaierako zutabean 1ak dituen matrizearen determinantearen berdina da:

$K=\left|{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{matrix}}\right|$

Paralelogramoaren legea

Paralelogramo baten lau aldeak (AB, BC, CD eta DA), lau erpinak (A, B, C eta D) eta bere diagonalak (AC eta BD).

Paralelogramoaren legea paralelogramo baten aldeak bere diagonalekin erlazionatzen dituen lege geometrikoa da. Lege honek esaten du paralelogramo baten lau aldeen luzeren karratuen batuketa bere diagonalen luzeren karratuen batuketaren berdina dela. Notazio matematikoan:

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2},$

non A, B, C eta D paralelogramoaren erpinak diren.

Paralelogramoaren aldeak binaka berdinak direnez, formula sinplifikatu ahal da:

$2\cdot ((AB)^{2}+(BC)^{2})=2\cdot ((CD)^{2}+(DA)^{2})=(AC)^{2}+(BD)^{2}.$

Beste irudi batzuetatik sortzen diren paralelogramoak

Varignonen teoremaren hitzik gabeko froga

Varignonen paralelogramoa

Varignonen teoremak dio lauki arbitrario baten aldeen erdiko puntuak paralelogramo baten erpinak direla. Paralelogramo horri Varignonen paralelogramo deritzo. Varignongen paralelogramoaren azalera hasierako laukiaren azaleraren erdia da.

Hitzik gabeko froga (ikus irudia):

1. Lauki arbitrario bat eta bere diagonalak.
2. Antzeko triangeluen oinarriak diagonal urdinarekiko paraleloak dira.
3. Berdin, diagonal gorriaren kasurako.
4. Oinarri pareek paralelogramo bat osatzen dute laukiaren azaleraren erdiarekin, Aq, lau triangelu handien azaleren batura gisa, Al 2 Aq da (bi bikoteetako bakoitzak laukia berreraikitzen du); triangelu txikienak, berriz, As Al laurden bat da (neurri lineal erdiek azalera laurdena ematen dute), eta paralelogramoaren azalera Aq ken As da.

Elipse baten paralelogramo ukitzailea

Elipse baterako, bi diametro konjugatuak direla esaten da, baldin eta soilik baldin diametro bateko amaiera-puntu batean elipsearekiko lerro ukitzailea beste diametroarekiko paraleloa bada. Elipse baten diametro konjugatuen bikote bakoitzak dagokion paralelogramo ukitzaile bat du, batzuetan paralelogramo mugatzaile deritzona, diametro konjugatuen amaierako lau puntuetan elipsearekiko lerro ukitzaileek osatzen dutena. Elipse jakin batean, paralelogramo ukitzaile guztiek eremu bera dute.

Edozein diametro konjugatutatik abiatuta, edo edozein paralelogramo ukitzailetatik abiatuta, elipse bat berreraiki daiteke.

Paralelepipedo bat

Paralelepipedo baten aurpegiak

Paralelepipedo bat hiru dimentsioko irudi bat da, eta haren sei aurpegiak paralelogramoak dira.

Kanpo estekak

• Datuak: Q45867
• Multimedia: Parallelograms / Q45867