Mitteassotsiatiivne ring

Mitteassotsiatiivne ring ehk mitte tingimata assotsiatiivne ring ehk ring on hulk R koos liitmise ja korrutamisega, mis on sellel hulgal defineeritud nii, et R moodustab liitmise suhtes Abeli rühma ja korrutamine on liitmise suhtes distributiivne. Sõna "mitteassotsiatiivne" kasutatakse tinglikult: konkreetne mitteassotsiatiivne ring võib olla assotsiatiivne ring (st korrutamistehe sellel võib olla assotsiatiivne), kuid mitteassotsiatiivse ringi mõiste assotsiatiivsust ei nõua.

Definitsioon

Mitteassotsiatiivne ring on universaalalgebra signatuuriga $\langle +,\times ,-,0\rangle$, milles $+$ ja $\times$ on binaarsed tehted (liitmine ja korrutamine), $-$ on unaarne tehe (vastandelemendi võtmine) ja $0$ on nullaarne tehe (nullelement), mis rahuldavad järgmisi tingimusi:

1. R on liitmise suhtes Abeli rühm:
   1. Kehtib samasus $a+b=b+a$ (liitmise kommutatiivsus).
   2. Kehtib samasus $(a+b)+c=a+(b+c)$ (liitmise assotsiatiivsus).
   3. Kehtib samasus $0+a=a+0=a$ (nullelement on liitmise neutraalne element).
   4. Kehtib samasus $a+(-a)=(-a)+a=0$ ($-a$ on a vastandelement).
2. Korrutamine on liitmise suhtes distributiivne:
   1. Kehtib samasus $(a+b)c=ac+bc$ (parempoolne distributiivsus).
   2. Kehtib samasus $a(b+c)=ab+ac$ (vasakpoolne distributiivsus).

Teisisõnu on mitteassotsiatiivne ring universaalalgebra $\langle R,+,\times ,-,0\rangle$, mille korral $\langle R,+,-,0\rangle$ on Abeli rühm ja korrutamistehe $\times$ on liitmise suhtes nii vasakult kui ka paremalt distributiivne.

Nullelemendi ja vastandelemendi võtmise käsitamine eraldi tehetena (mitte lihtsalt eksisteerimisnõuetena "leidub element 0 nii, et...") on universaalalgebra vaatepunktist oluline: sellisel juhul on ringi R alamring täpselt see alamhulk, mis on kinnine kõigi nelja tehte — $+$, $\times$, $-$ ja $0$ — suhtes.

Et mitteassotsiatiivne ring on defineeritud samasuste kaudu, siis mitteassotsiatiivsete ringide klass on muutkond.

Üldjuhul ei ole korrutamine assotsiatiivne. Mõnel ringide klassil on assotsiatiivsuse asemel mõni muu tingimus, näiteks Lie ringidel Jacobi samasus ja Jordani ringidel Jordani samasus.

Sõna "ring" kasutamine kitsamas tähenduses

Matemaatilises kirjanduses ei ole algebraterminil "ring" ühtset tähendust. Kõige üldisemas tähenduses mõeldakse ringi all mitteassotsiatiivset ringi. Kirjanduses esineb ringi definitsioone, milles esitatakse assotsiatiivse ringi või assotsiatiivse ühikelemendiga ringi mõiste.

Matemaatilises kirjanduses kasutatakse sõna "ring" sageli ka kokkuleppelise lühendina väljendite "assotsiatiivne ring", "assotsiatiivne ühikelemendiga ring" või "assotsiatiivne kommutatiivne ühikelemendiga ring" asemel.

Näited

• Kõik assotsiatiivsed ringid on mitteassotsiatiivsed ringid.
• John T. Gravesi poolt 1843 konstrueeritud oktaavid olid esimene niisuguse ringi näide, milles korrutamine ei ole assotsiatiivne.
• Alexander MacFarlane'i hüperboolsed kvaternioonid olid matemaatiliseks aluseks hilisemale aegruumi teooriale.
• Cayley-Dicksoni konstruktsioon annab mitteassotsiatiivsete ringide lõpmatu pere.
• Lie ringid ja Jordani ringid on mitte tingimata assotsiatiivsed ringid.
• Ring on alternatiivne ring, kui $[x,x,y]=[y,x,x]=0$, kus $[x,y,z]=(xy)z-x(yz)$ on assotsiaator.

Omadused

Mitteassotsiatiivsetel ringidel puuduvad paljud assotsiatiivsete ringide omadused.

Ühikelemendiga ringide puhul:

• Kui elemendil $x$ on vasakpoolne pöördelement $a^{L}$ ja parempoolne pöördelement $a^{R}$, siis $a^{L}$ ja $a^{R}$ võivad olla erinevad.
• Pöördelemendiga element võib olla nullitegur.

Ringi, mille korrutamistehtel on alternatiivsuse omadus, nimetatakse alternatiivseks ringiks.

Isegi kui ringil on ühikelement, ei pruugi mitteassotsiatiivses ringis kehtida assotsiatiivsetes ringides harjumuspärane pööratava elemendi käsitus. Elemendil võib olla vasakpoolne pöördelement ja puududa parempoolne pöördelement või ümberpöördult; mõlemad võivad küll olemas olla, kuid olla erinevad. Samuti võib ühel elemendil olla mitu erinevat ühepoolset pöördelementi. Pöördelemendi olemasolu ei taga, et element ei ole nullitegur, ja korrutamisel ei pruugi pöördelemendi omadus säilida.

Nagu tavalisi ringe, võib ka mitteassotsiatiivset ringi käsitleda algebrana üle täisarvude ringi $\mathbb {Z}$.

Algebra üle korpuse või algebra üle ringi, mis ei ole tingimata assotsiatiivsed, on mitteassotsiatiivse ringi näited.

Lie algebrad ja Jordani algebrad on mitteassotsiatiivse ringi näited, kui neid käsitada algebratena üle täisarvude ringi.

Poolkorpus on jagamisega struktuur, mille nullist erinevad elemendid moodustavad korrutamise suhtes kvaasirühma; ka poolkorpus on mitteassotsiatiivne ring.

Alamringid

 Pikemalt artiklis Alamring

Ringi R mittetühja alamhulka nimetatakse alamringiks, kui A ise on ringi R liitmise ja korrutamise suhtes ring. Selleks peab A olema ringi R aditiivse rühma alamrühm ja selle ringi multiplikatiivse rühmoidi alamrühmoid.

Iga ringi alamringide seas on see ring ise ja nullalamring, mille ainus element on nullelement.

Ringi alamringide ühisosa on selle ringi alamring. Ringi R alamringide A_α ühendiks nimetatakse kõikide selliste alamringide ühisosa, mis sisaldavad kõiki alamringe A_α. Alamringide ühisosa ja ühendi võtmise suhtes moodustavad ringi R alamringid võre S(R). Ringi R ideaalide hulk moodustab võre S(R) alamvõre.

Vaata ka

• Ringiteooria

Kirjandus

• E.-A. Behrens. Nichtassoziative Ringe. – Mathematische Annalen, 1954, 127: 441–452.
• E.-A. Behrens. Ein topologischer Beitrag zur Strukturtheorie nichtassoziativer Ringe. – Math. Ann, 1955, 129, lk 297–303.
• A. A. Sagle. Malcev algebras. – Trans. Amer. Math. Soc., 1961, 101, lk 426–458.
• R. D. Schafer. An Introduction to Nonassociative Algebras, Academic Press: New York 1966.
• N. Jacobson. Structure and Representations of Jordan Algebras, 1968.
• К. А. Жевлаков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. Кольца, близкие к ассоциативным, Наука: Москва 1978.
  • K. A. Zhevlakov, A. M. Slin'ko, I. P. Shestakov, A. I. Shirshov. Rings That Are Nearly Associative, Academic Press 1982.
• Л. А. Бокуть. Неассоциативные кольца и алгебры. – И. М. Виноградов (toim). Математическая энциклопедия, kd 3, М.: Советская энциклопедия, 1982. Ingliskeelne tõlge
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. Глава III. Кольца и модули – Л. А. Скорняков (toim). Общая алгебра, М.: Наука, 1990, kd 1, ISBN 5-02-014426-6, lk 291–572.
• S. Okubo. Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics, Cambridge University Press 1995.
• J. C. Baez. The Octonions. – Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, 39(2): 145–205.
• B. C. Hall, M. J. Crowe. A History of Vector Analysis, Dover Publications: Mineola (New York) 2002, ISBN 0-486-67910-1.
• K. McCrimmon. A Taste of Jordan Algebras, Springer 2004.