Polinômio

Polinómio (português europeu) ou polinômio (português brasileiro) é uma expressão algébrica que é abordada como a relação entre dois ou mais monômios através de uma operação. Os polinômios podem ser considerados o cerne da álgebra e, em parte, do pré-cálculo.

Definição

Como dito anteriormente, o polinômio é a relação entre dois ou mais monômios, através de uma operação, seja algébrica, seja aritmética. Naturalmente, como diz o Teorema fundamental da álgebra, o polinômio pode conter coeficientes ou variáveis complexas, assim:

$cx\in }\ \mathbb {C$

onde o c minúsculo é o coeficiente e o x é a variável.

Os polinômios, ao contrário dos monômios, contém maior quantidade de propriedades, dentre elas podemos destacar o termo independente, que não é acompanhado de variáveis, e o grau, que é o maior expoente de uma variável. Os polinômios podem ser classificados dependendo da quantidade de monômios unidos:

• Quando o polinômio tem 2 monômios, geralmente é chamado de binômio.
• Quando o polinômio tem 3 monômios, é chamado de trinômio.

Quando tem mais de 4 monômios, são genericamente chamados de polinômios.

Propriedades e operações

Propriedades inéditas

Além das propriedades dos monômios, o polinômio contém propriedades inéditas, sendo elas o grau e o termo independente.

O grau é geralmente denotado como o maior expoente da variável, em variável única, isso de fato é aplicado, para variáveis numerosas (quantidade maior que 1), descobre-se o grau pela soma dos expoentes de cada variável, tomemos dois exemplos:

$4x^{2}+6x+3$

Nesse caso, o grau do polinômio é 2, pois o maior expoente da variável x é o 2.

$6x^{2}y^{2}+7xy$

Aqui fica mais complicado, mas o grau é a soma dos expoentes de cada parte, na primeira fica (2+2) e na segunda fica (1+1), portanto a maior soma, é o grau, que, nesse caso, é 4.

Já o termo independente é uma parte ausente de variável, sendo comuns nas equações polinomiais, servindo para equilibrar a conta, ele é o único com apenas coeficiente.

Operações

Adição

A adição entre polinômios ocorre pela soma de monômios cujas variáveis são iguais, formando um esquema de agrupamento:

$(4x+9y)+(6y+8x)=(9y+6y)+(4x+8x)=15y+12x$

Subtração

A subtração não tem muita diferença, mas deve-se fazer o oposto do polinômio, ou seja, inverter os sinais antes de fazer a operação, suponha que queira subtrair P(x) de Q(x):

$P(x)=6x^{2}+8x-5$

$Q(x)=7x+9$

$-Q(x)=7x-9$

$(6x^{2}+8x-5)-(7x-9)$

Este exemplo contém um erro, onde no polinômio Q(x) não há um semelhante ao monômio de maior grau em P(x), assim funciona a correção:

$(6x^{2}+8x-5)-(0x^{2}-7x-9)=(6x^{2}+15x-4)$

Multiplicação

Os polinômios são multiplicados pela propriedade distributiva, ou seja, o primeiro termo do primeiro polinômio vezes o primeiro termo do segundo polinômio e assim vai, vamos fazer um exemplo básico:

$(4b-5)(5x+10)$

Assim:

$(4x-5)(5x+10)=9x+40x-25x-50$

Divisão

Ver artigos principais: Algoritmo de Briot-Ruffini e Divisão polinomial

Não será especificado a divisão polinomial aqui devido à presença de artigos mais detalhados, aqui será citados apenas os métodos, existe o método de Descartes, o mais popular, chamado popularmente de método de chaves, e o método de Briot-Ruffini, um método ligeiramente mais fácil.

As fabulosas aplicações

Os polinômios são largamente aplicados em diversas partes da matemática, dentre elas:

A relação de correspondência entre conjuntos de polinômios acaba gerando uma função polinomial, onde principalmente são abordadas as funções afim, quadrática e cúbica, nesse caso, o domínio das funções são os valores dados às variáveis, e os valores sintetizados ficam no contradomínio.

Na álgebra, toda expressão algébrica é passível de decomposição em polinômios, via agrupamento ou fator comum em evidência, e os polinômios são a maioria dos produtos notáveis, como o trinômio quadrado perfeito, expressos por:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\qquad (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$