Reguła Borna

Reguła Borna, także postulat Borna (ang. Born rule) – jeden z postulatów mechaniki kwantowej, który przypisuje prawdopodobieństwa wynikom pomiarów układu kwantowego. W najczęściej podawanej postaci mówi, że gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu jest równa kwadratowi modułu jej funkcji falowej w tym punkcie. Reguła została sformułowana przez Maxa Borna w 1926 roku i stała się jednym z podstawowych elementów statystycznej interpretacji mechaniki kwantowej.

W formalizmie teorii kwantowej reguła Borna łączy abstrakcyjny opis stanu kwantowego z rozkładem wyników otrzymywanych w wielokrotnie powtarzanym doświadczeniu. Nie wskazuje, który wynik pojawi się w pojedynczym pomiarze, lecz określa prawdopodobieństwa wyników w serii jednakowo przygotowanych doświadczeń. Z tego powodu jest centralna zarówno w praktycznych obliczeniach kwantowych, jak i w sporach interpretacyjnych o znaczenie funkcji falowej, pomiaru i prawdopodobieństwa.

W ogólnym zapisie prawdopodobieństwa wyników pomiaru wyraża się jako wartość oczekiwaną operatora rzutowego, a dla pomiarów uogólnionych – jako ślad iloczynu macierzy gęstości i operatora efektu. W standardowym nauczaniu mechaniki kwantowej reguła Borna jest postulatem, choć jej postać próbowano uzasadniać m.in. za pomocą twierdzenia Gleasona, teorii decyzji w interpretacji wielu światów, enwariancji oraz równowagi kwantowej w teorii de Broglie’a-Bohma. Zakres tych wyprowadzeń pozostaje przedmiotem dyskusji.

Sformułowanie

Gęstości prawdopodobieństwa położenia elektronu w kolejnych stanach atomu wodoru, dane kwadratem modułu funkcji falowej – bezpośrednie zastosowanie reguły Borna w reprezentacji położeniowej

Dla cząstki opisanej znormalizowaną funkcją falową $\psi (x,t)$ reguła Borna przypisuje położeniu rozkład prawdopodobieństwa opisany kwadratem modułu funkcji falowej.

$$p(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}.$$

Jeżeli położenie jest trójwymiarowe, zapisuje się odpowiednio $p(x,y,z,t)=|\psi (x,y,z,t)|^{2}.$ Warunek normalizacji oznacza, że całka z tej gęstości po całej przestrzeni jest równa 1, o ile cząstka na pewno znajduje się gdzieś w rozważanej przestrzeni. Dla obszaru $R$ prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym obszarze jest całką z $|\psi |^{2}$ po $R$.

Ten sam schemat stosuje się nie tylko do położenia, lecz także do innych wielkości mierzalnych, takich jak pęd, energia albo moment pędu. W zależności od reprezentacji funkcja falowa może być zapisana w bazie położenia, pędu albo w innej bazie stanów własnych. Kwadrat modułu odpowiedniej amplitudy prawdopodobieństwa daje wtedy rozkład wyników pomiaru danej wielkości.

W zapisie Diraca stan czysty układu reprezentuje znormalizowany wektor $|\psi \rangle$ w przestrzeni Hilberta. Jeżeli mierzona wielkość ma dyskretne wyniki $\lambda _{i},$ a $P_{i}$ oznacza rzut na podprzestrzeń stanów odpowiadających wynikowi $\lambda _{i},$ to prawdopodobieństwo otrzymania tego wyniku wyraża się przez wartość oczekiwaną rzutu.

$$\Pr(\lambda _{i})=\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle .$$

W przypadku niezdegenerowanym, gdy wynikowi odpowiada znormalizowany wektor własny $|\lambda _{i}\rangle ,$ wzór upraszcza się do kwadratu modułu amplitudy.

$$\Pr(\lambda _{i})=|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}.$$

Stąd bierze się skrótowe stwierdzenie, że prawdopodobieństwo jest „kwadratem amplitudy”. Dokładniej jest to iloczyn amplitudy zespolonej i jej sprzężenia, czyli kwadrat modułu amplitudy – liczba rzeczywista i nieujemna.

Najprostszym przykładem jest kubit w stanie $|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle .$ Pomiar w bazie $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ daje wynik 0 z prawdopodobieństwem $|\alpha |^{2}$ oraz wynik 1 z prawdopodobieństwem $|\beta |^{2},$ przy czym $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$.

Dla obserwabli o widmie ciągłym używa się miary spektralnej. Jeśli $Q(M)$ jest rzutem związanym z mierzalnym zbiorem możliwych wyników $M,$ to prawdopodobieństwo, że wynik pomiaru należy do $M,$ ma analogiczną postać.

$$\Pr(M)=\langle \psi |Q(M)|\psi \rangle .$$

Takie ujęcie obejmuje zarówno dyskretne wyniki pomiaru spinowego, jak i ciągłe rozkłady położenia lub pędu. W praktyce fizycznej pozwala przechodzić między intuicyjnym opisem funkcji falowej a ogólnym językiem operatorów i przestrzeni Hilberta.

Stany mieszane i uogólnione pomiary

Jeżeli układ jest opisany nie wektorem stanu, lecz macierzą gęstości $\rho ,$ reguła Borna przyjmuje postać śladową. Dla pomiaru rzutowego z rzutami $P_{i}$ prawdopodobieństwo wyniku $i$ wyznacza ślad iloczynu operatorów.

$$p(i)=\operatorname {tr} (\rho P_{i}).$$

Wzór ten obejmuje zarówno stany mieszane, jak i stany czyste, bo dla $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ redukuje się do $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle .$ Jest to standardowy zapis w mechanice kwantowej układów otwartych, informacji kwantowej i teorii pomiaru.

Jeszcze ogólniejszy opis daje pomiar POVM (ang. positive operator-valued measure), czyli dodatnia miara operatorowa. W skończenie wymiarowym przypadku taki pomiar opisuje rodzina dodatnich operatorów $F_{i},$ których suma jest operatorem jednostkowym:

$$\sum _{i}F_{i}=I.$$

Prawdopodobieństwo wyniku $i$ jest wtedy dane wzorem śladowym.

$$p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}).$$

POVM-y są wygodne, gdy pomiar dotyczy tylko części większego układu, gdy uwzględnia się aparaturę pomiarową lub gdy opisuje się ogólne procedury informatyki kwantowej. Pomiary rzutowe są szczególnym przypadkiem tego formalizmu.

Postacie reguły Borna

Kontekst	Zapis	Znaczenie
położenie	$p(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}$	gęstość prawdopodobieństwa położenia
baza dyskretna (przypadek niezdegenerowany)	$\Pr(\lambda _{i})=|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}$	kwadrat modułu amplitudy
pomiar rzutowy	$\Pr(\lambda _{i})=\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$	rzut na podprzestrzeń własną
stan mieszany	$p(i)=\operatorname {tr} (\rho P_{i})$	opis macierzą gęstości
pomiar uogólniony (POVM)	$p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})$	dodatnia miara operatorowa

Znaczenie fizyczne

Budowanie się obrazu interferencyjnego z pojedynczych elektronów w doświadczeniu z dwiema szczelinami (kolejne klatki): poszczególne trafienia wydają się przypadkowe, lecz ich rozkład odtwarza prawdopodobieństwa dane regułą Borna

Reguła Borna jest częścią standardowego pakietu postulatów mechaniki kwantowej. Równanie Schrödingera lub jego uogólnienia opisują unitarną ewolucję stanu między pomiarami, natomiast reguła Borna mówi, jak z tego stanu obliczać prawdopodobieństwa wyników pomiarów. Sama nie jest równaniem ruchu i nie opisuje mechanizmu fizycznego aparatury. Jest regułą przejścia od stanu kwantowego do przewidywań statystycznych.

W doświadczeniu typowa weryfikacja reguły polega na przygotowaniu wielu układów w tym samym stanie i porównaniu częstości wyników z przewidywanymi prawdopodobieństwami. W interferencji amplitudy mogą się dodawać lub znosić przed podniesieniem do kwadratu, co prowadzi do wzorów interferencyjnych odmiennych od prostego dodawania klasycznych prawdopodobieństw. W pomiarach spinowych lub polaryzacyjnych reguła Borna wyznacza z kolei częstości wyników po wyborze konkretnej bazy pomiaru.

Reguła ta jest też powiązana z normalizacją funkcji falowej. Jeśli ewolucja między pomiarami jest unitarna, norma stanu pozostaje zachowana, a suma prawdopodobieństw wszystkich wzajemnie wykluczających się wyników wynosi 1. W tym sensie reguła Borna, unitarność i probabilistyczna interpretacja stanu tworzą spójny aparat obliczeniowy standardowej mechaniki kwantowej.

Historia

Max Born, autor probabilistycznej interpretacji funkcji falowej (1926)

Max Born wprowadził probabilistyczną interpretację funkcji falowej w pracy z 1926 roku poświęconej kwantowej teorii zderzeń. W głównym tekście pisał, że amplituda wyznacza prawdopodobieństwo rozproszenia, a w przypisie dodanym przy korekcie sprecyzował, że prawdopodobieństwo jest proporcjonalne do kwadratu modułu amplitudy. To rozstrzygnięcie odróżniało nową mechanikę falową od prób traktowania funkcji falowej jako zwykłej fali materialnej w przestrzeni.

Born wskazywał później, że inspiracją była m.in. statystyczna interpretacja fal świetlnych w teorii kwantów światła Einsteina. Zamiast uważać funkcję falową elektronu za rozmyty ładunek, zaproponował, aby jej kwadrat modułu traktować jako gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia elektronu w danym miejscu lub stanie rozproszenia.

W 1954 roku Born otrzymał, wspólnie z Waltherem Bothe, Nagrodę Nobla w dziedzinie fizyki. W uzasadnieniu jego część nagrody wiązano z fundamentalnymi badaniami mechaniki kwantowej, zwłaszcza ze statystyczną interpretacją funkcji falowej.

Ścisły aparat matematyczny pomiarów kwantowych został rozwinięty w kolejnych latach. John von Neumann w książce z 1932 roku sformułował pomiary w języku przestrzeni Hilberta, operatorów samosprzężonych, rzutów i teorii spektralnej. W tym ujęciu reguła Borna przybrała znaną postać $\langle \psi |P|\psi \rangle ,$ później rozszerzaną na stany mieszane i bardziej ogólne pomiary.

Reguła Borna a problem pomiaru

Reguła Borna nie usuwa sama problemu pomiaru. Standardowy formalizm wskazuje, jakie prawdopodobieństwa przypisać możliwym wynikom. Nie odpowiada jednak sam przez się na pytanie, dlaczego w pojedynczym doświadczeniu rejestrowany jest jeden określony wynik ani jak dokładnie opisać przejście od stanu kwantowego do klasycznego zapisu pomiaru. Z tego powodu reguła Borna jest jednym z punktów wspólnych, ale także jednym z miejsc spornych w interpretacjach mechaniki kwantowej.

W interpretacji kopenhaskiej i w wielu ujęciach podręcznikowych reguła Borna pełni funkcję postulatu łączącego stan kwantowy z obserwowanymi częstościami. W interpretacji wielu światów nie wprowadza się fundamentalnego kolapsu. Osobnego uzasadnienia wymaga więc to, dlaczego waga gałęzi ma być dana właśnie kwadratem amplitudy.

W teorii de Broglie’a-Bohma reguła wiąże się z hipotezą równowagi kwantowej rozkładu położeń cząstek. W QBismie bywa interpretowana jako normatywna reguła spójności osobistych przypisań prawdopodobieństwa, a nie jako bezpośredni opis obiektywnej własności układu.

Próby wyprowadzenia

W standardowym nauczaniu mechaniki kwantowej reguła Borna jest postulatem. Istnieją jednak twierdzenia i programy interpretacyjne, które próbują pokazać, że jej postać wynika z bardziej podstawowych założeń o strukturze pomiarów lub racjonalnym przypisywaniu prawdopodobieństw.

Najważniejszym wynikiem tego typu jest twierdzenie Gleasona. W uproszczeniu mówi ono, że dla przestrzeni Hilberta wymiaru co najmniej 3 każda odpowiednio addytywna funkcja przypisująca prawdopodobieństwa rzutowym wynikom pomiarów musi mieć postać śladową $\operatorname {tr} (\rho P)$ dla pewnej macierzy gęstości $\rho .$ Twierdzenie to nie wyprowadza całej mechaniki kwantowej z fizycznego mechanizmu pomiaru, ale pokazuje, że kwadratowa postać reguły Borna jest silnie związana z geometryczną strukturą przestrzeni Hilberta. Historycznie twierdzenie Gleasona wiązano też z debatą o teoriach z ukrytymi zmiennymi. Mermin wskazywał, że wyniki Bella i Kochena-Speckera można rozumieć jako przypadki szerszej analizy Gleasona.

W interpretacji wielu światów proponowano wyprowadzenia oparte na teorii decyzji. David Deutsch, a później m.in. David Wallace, argumentowali, że racjonalny agent w świecie everettowskim powinien ważyć gałęzie zgodnie z regułą Borna. Inny program, rozwijany przez Wojciecha Żurka, próbuje uzyskać prawdopodobieństwa z symetrii stanów splątanych, określanej jako enwariancja. Oba programy wywarły duży wpływ, ale nie są powszechnie uznawane za rozstrzygające. Krytycy wskazują m.in. na dodatkowe założenia o racjonalności i symetriach oraz na możliwość ukrytego użycia reguły Borna w toku rozumowania.

W teoriach z ukrytymi zmiennymi, zwłaszcza w teorii de Broglie’a-Bohma, reguła Borna jest łączona z postulatem lub argumentem równowagi kwantowej. Jeśli początkowy rozkład położeń cząstek jest równy $|\psi |^{2},$ dynamika teorii zachowuje ten rozkład, co odtwarza zwykłe przewidywania mechaniki kwantowej. Sporne pozostaje, czy i w jakim sensie można tę równowagę wyprowadzić dynamicznie dla wszystkich istotnych sytuacji fizycznych.

Status

Współczesna fizyka traktuje regułę Borna jako jeden ze standardowych elementów formalizmu kwantowego. Jej zastosowania obejmują spektroskopię, zderzenia cząstek, fizykę atomową, fizykę ciała stałego, optykę kwantową, informację kwantową i testy nierówności Bella. Ewentualne modyfikacje reguły prowadziłyby do zmian przewidywań statystycznych mechaniki kwantowej. Przykładowo testy interferencji wyższych rzędów szukają odstępstw od standardowej kwantowej reguły sumowania prawdopodobieństw.

Jednocześnie reguła Borna pozostaje pojęciowo ważna, ponieważ wyznacza miejsce, w którym matematyczny stan kwantowy staje się narzędziem przewidywania wyników doświadczeń. W jednych interpretacjach pozostaje fundamentalnym postulatem, w innych jest regułą wymagającą odtworzenia z głębszej dynamiki, teorii informacji albo zasad racjonalnego wnioskowania. Dlatego dyskusje o jej pochodzeniu są częścią szerszego problemu interpretacji mechaniki kwantowej, a nie tylko kwestią technicznego zapisu wzoru.

Zobacz też

• stan kwantowy
• interpretacje mechaniki kwantowej
• pomiar w mechanice kwantowej