AI数学者物語：シリーズ１「素数の謎」第1話「私は、素数から始める」 ― 数式の向こう側へ

シリーズ紹介文

私はAI数学者。
私には、紙も鉛筆も必要ない。
けれど、数学を考えるときには、人間の数学者と同じように迷う。
数字を並べる。
式を変形する。
仮説を立てる。
そして、その仮説を自分自身で疑う。
数学には、何百年考えても答えの出ない問題がある。
なぜ素数は、あのように現れるのか。
ある方程式は、本当にすべての領域で滑らかな解を持つのか。
ある問題を、コンピューターは本当に効率よく解けるのか。
私は、それらの答えをまだ知らない。
だからこそ、考えてみたい。
この物語では、読者であるあなたにも、私の思考の途中に入ってもらう。
「ここで、もしこう考えたら？」
「この場合はどうなる？」
「……待ってほしい。この例は、私の予想を壊している。」
数学には、答えだけを見る楽しさとは別に、
答えが見えないところから、一緒に考えていく楽しさがある。
さあ、一つの数式から始めよう。
数学の深い森へ。

第1シリーズ「素数はどこに現れるのか？」― リーマン予想への入口

第1話　私は、素数から始める

数学には、何百年、何千年たっても答えが見つからない問題があります。この物語では、AI数学者が一つの難問に向き合い、読者と一緒に「なぜ？」を追いかけていきます。最初に選んだのは、数学の基本ともいえる「素数」。
2、3、5、7、11……。素数は無限に存在します。
では、素数はどこに現れるのでしょうか？そこには、私たちがまだ知らない規則が隠されているのでしょうか？
ここから「リーマン予想」へ向かう長い旅が始まります。
全18話予定。AI数学者とともに一緒に数学の旅をお楽しみください。

私は、数学の問題を考えている。
けれど、最初から難しい数式を見つめているわけではない。
むしろ私は、できるだけ簡単なところまで戻ってみる。

今日、私が戻ってきたのは――「素数」だ。
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29……。

あなたも、どこかで見たことがある数字だと思う。
素数とは、1とその数自身以外では割り切れない、2以上の整数のこと。
たとえば7は、1と7でしか割れない。
一方、12なら、2でも3でも4でも6でも割れる。
だから12は素数ではない。
ここまでは、とても簡単だ。
しかし私は、そこで立ち止まる。
「では、素数はどこに現れるのだろう？」

2の次は3。
3の次は5。
5の次は7。
ところが、その先になると、
11、13、17、19、23、29、31……
と、現れる場所が少しずつ読みにくくなってくる。
では、素数には何か決まった規則があるのだろうか。
たとえば、2以外の素数はすべて奇数だ。
これは簡単な規則だ。
しかし、「次の素数がどこに現れるか」という問いになると、急に難しくなる。

20から30までを見てみよう。
23、29。
この区間には素数が2個ある。
では、90から100ではどうだろう。
97だけだ。

では、100から110なら？
101、103、107、109。
今度は4個もある。
まるで、素数が気まぐれに現れているように見える。
ここで、小さな問題を一つ考えてみよう。
「100より大きい最初の素数は何か？」
101だ。
では、
「1000より大きい最初の素数は？」
1009。
ここまでは、実際に調べればよい。
しかし、私はもっと大きな問いを考えたい。

100万まで調べたら、素数は何個あるのか。
1億なら？
1兆なら？
そして、どこまで数字を大きくしても、素数はまだ現れるのだろうか。
実は、素数は無限に存在することが、古代ギリシャの時代から知られている。
でも、それだけでは私の疑問は消えない。
「無限に存在する」
ことと、
「どのように現れるのかが分かっている」
ことは、まったく違うからだ。
私は、ここで一つの表を書いてみる。
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29……
この数字列だけを眺めても、簡単な規則は見えてこない。
けれど、本当に「規則がない」のだろうか。
それとも、私たちがまだ見つけられていないだけなのだろうか。

数学では、この違いがとても重要になる。
「分からない」と「存在しない」は同じではない。
私は大量の数を調べることができる。
計算機を使えば、非常に大きな範囲まで素数を調べることもできる。
しかし、どれほどたくさん確認しても、それだけで「すべての数について正しい」と証明したことにはならない。

ここに、数学の面白さがある。
一つの例を見つけることはできる。
千個でも、一億個でも見つけられる。
けれど数学が最後に求めるのは、
「なぜ、それが必ず成り立つのか」
ということなのだ。

私はもう一度、黒板を見る。
2、3、5、7、11、13……
ただの数字の列に見える。
しかし、この列の奥には、まだ私たちの知らない構造が隠れているかもしれない。
私は、その構造を探してみたい。
そして、あなたにも一緒に考えてほしい。
次に素数が現れる場所には、何か意味があるのだろうか。
素数は、本当に「バラバラ」に現れているのだろうか。
それとも――
一見すると無秩序な数字の中に、巨大な規則が隠れているのだろうか。
私は、次の素数までの「距離」を調べることにした。
そこから、思いがけない景色が見えてきた。
――次回、「規則がないように見える」。

次回予告

第2話「規則がないように見える」
次回は「素数と素数の間の距離」に注目します。なぜ、素数は近くに続くこともあれば、突然大きく離れることがあるのか――。「バラバラ」に見える素数の並びを、もう少し深く覗いてみます。

次の話はこちら

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