Determinant

See artikkel räägib matemaatika mõistest; taimeökoloogilise mõiste kohta vaata artiklit Determinant (ökoloogia); determinandiks on nimetatud ka edifikaatortaime

---

Determinant on lineaaralgebras teatud viisil defineeritud kujutus, mis tavaliselt seab igale reaalarvuliste elementidega ruutmaatriksile vastavusse reaalarvu.

Determinant on oluline mõiste lineaarvõrrandisüsteemide ja lineaarteisenduste uurimisel. Determinandi abil saab näiteks kindlaks teha, kas ruutmaatriks on pööratav, ja kirjeldada geomeetriliselt pindalade ja ruumala muutumist lineaarteisendusel.

Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt $\det(A)$ või $\det A$. Samuti kasutatakse tähistust $|A|$, mida ei tohi segi ajada absoluutväärtuse tähisega. Determinant on defineeritud ainult ruutmaatriksite puhul.

Determinandi mõistet üldistatakse ruutmaatriksitele, mille elemendid on kompleksarvud või üldisemalt mis tahes korpus elemendid või veel üldisemalt mis tahes ühikuga kommutatiivse ringi elemendid.

Reaalarvuliste elementidega ruutmaatriksite determinandid

Determinandi arvutamine

Väikeste maatriksite puhul saab determinandi arvutada otse valemi abil. Üldise n-järku determinandi jaoks võib kasutada Leibnizi valemit või Laplace'i valemit. Suurte maatriksite korral on need meetodid ebaefektiivsed ning determinandi arvutamiseks kasutatakse tavaliselt Gaussi eliminatsiooni või maatriksi LU-lagundust. Leibnizi valemi otsesel rakendamisel kasvab tehtavate tehete arv ligikaudu nagu n-i faktoriaal, samal ajal kui Gaussi eliminatsioonil põhineva meetodi arvutuslik keerukus on suurusjärgus O(n³).

Teist järku determinant

Kui

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{pmatrix}'): {\displaystyle A=\begin{pmatrix} a&b\ c&d \end{pmatrix}, }

siis

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{vmatrix}'): {\displaystyle \det(A)= \begin{vmatrix} a&b\ c&d \end{vmatrix} =ad-bc. }

Kolmandat järku determinant

Kui

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{pmatrix}'): {\displaystyle A=\begin{pmatrix} a&b&c\ d&e&f\ g&h&i \end{pmatrix}, }

siis

$\det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.$

Sama tulemuse saab kolmanda järgu determinandi puhul Laplace'i arenduse abil:

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\h'): {\displaystyle \det(A) =a\begin{vmatrix}e&f\h&i\end{vmatrix} -b\begin{vmatrix}d&f\g&i\end{vmatrix} +c\begin{vmatrix}d&e\g&h\end{vmatrix}. }

Sarruse reegel

Sarruse reegel on kolmanda järgu determinandi arvutamise erivõte. Reegel on saanud nime prantsuse matemaatiku Pierre Frédéric Sarrus' järgi. Selle abil saab kolmanda järgu determinandi liikmed leida kolme peadiagonaaliga paralleelse korrutise ning kolme vastassuunalise diagonaaliga paralleelse korrutise abil.

Kui

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{pmatrix}'): {\displaystyle A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}, }

siis

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{aligned}'): {\displaystyle \begin{aligned} \det(A)={}& a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32}\ &-a_{13}a_{22}a_{31} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{11}a_{23}a_{32}. \end{aligned} }

Sarruse reegel on mugav ainult teist ja eelkõige kolmandat järku determinantide korral; üldise n-järku determinandi jaoks seda kasutada ei saa.

Leibnizi valem

Leibnizi valem väljendab n-järku determinandi kõigi permutatsioonide kaudu. Olgu $A=(a_{ij})$ n×n maatriks ja $S_{n}$ hulga ${1,2,\ldots ,n}$ kõigi permutatsioonide hulk. Siis

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)},$

kus $\operatorname {sgn} (\sigma )$ on permutatsiooni märk: paarispermutaatsiooni korral $+1$ ja paaritu permutatsiooni korral $-1$. Kuna hulgal $S_{n}$ on n! elementi, sisaldab valem n! liiget.

Leibnizi valem on determinandi üldine valem, kuid selle otsene rakendamine muutub n-i kasvades kiiresti ebaefektiivseks.

Laplace'i valem

Laplace'i valem ehk algebraliste täiendite järgi arendamine võimaldab determinandi arvutada väiksema järgu determinantide abil.

Olgu A n×n maatriks. Elemendi $a_{ij}$ miinoriks $M_{ij}$ nimetatakse determinanti, mis saadakse maatriksist A i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel. Elemendi $a_{ij}$ algebraliseks täiendiks ehk kofaktoriks nimetatakse suurust

$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Maatriksi saab arendada suvalise fikseeritud rea i järgi:

\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}. </math>

Samuti võib determinandi arendada suvalise fikseeritud veeru j järgi:

\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}. </math>

Laplace'i arendus on eriti kasulik siis, kui valitud reas või veerus on palju nulle. Suurte determinantide otseseks arvutamiseks on see siiski ebaefektiivne võrreldes eliminatsioonimeetoditega.

Determinandi põhiomadused

Determinandi tähtsamad omadused on järgmised.

Transponeerimisel determinandi väärtus ei muutu:

1. $\det(A^{T})=\det(A).$

Kui maatriksi mõni rida või veerg koosneb ainult nullidest, siis determinant on null. Kui maatriksi kaks rida või kaks veergu on võrdsed või lineaarselt sõltuvad, siis determinant on null. Kui üks rida või veerg on teiste ridade või veergude lineaarkombinatsioon, siis determinant on null. Kahe rea või kahe veeru vahetamisel muutub determinandi märk:

1. $\det(A')=-\det(A).$

Kui ühe rea või veeru kõik elemendid korrutada arvuga $\lambda$, korrutub determinant sama arvuga:

1. $\det(A')=\lambda \det(A).$

Kui ühele reale liita teise rea mingi skalaarne kordne, determinant ei muutu. Sama kehtib veergude kohta. Determinant on iga rea ja iga veeru suhtes lineaarne, kui ülejäänud read või veerud on fikseeritud. Kolmnurkse, diagonaalse või skalaarse maatriksi determinant võrdub peadiagonaali elementide korrutisega. Kahe sama järku ruutmaatriksi A ja B korral:

1. $\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Kui A on pööratav, siis

1. $\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}.$

Oluline tagajärg on

$\det(A)\neq 0\quad \Longleftrightarrow \quad A{\text{ on pööratav}}.$

Samuti on ruutmaatriksi read ja veerud lineaarselt sõltumatud parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev.

Determinant ja geomeetria

Determinandil on oluline geomeetriline tõlgendus. Absoluutväärtusena annab determinant vektorite määratud rööpküliku või rööptahuka pindala või ruumala.

Kahemõõtmeline ruum

Kahemõõtmelises ruumis on kahe vektori ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2})$ ja ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2})$ määratud rööpküliku pindala

|a_1b_2-a_2b_1|. </math>

Determinandi märk sõltub vektorite järjestusest ja näitab nende orientatsiooni. Kui determinant on null, on vektorid lineaarselt sõltuvad.

Kui punktid on $P_{1}=(a,b)$ ja $P_{2}=(c,d)$, siis nullpunkti, $P_{1}$ ja $P_{2}$ määratud kolmnurga pindala on

\frac12|ad-bc|. </math>

Kolmemõõtmeline ruum

Kolmemõõtmelises ruumis on kolme vektori

${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\qquad {\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3}),\qquad {\vec {c}}=(c_{1},c_{2},c_{3})$

määratud rööptahuka ruumala

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{vmatrix}'): {\displaystyle V= \left| \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} \right|. }

Nende kolme vektori ja nullpunkti määratud tetraeedri ruumala on

\frac16 \left| \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix} \right|. </math>

Kui determinant on null, paiknevad kolm vektorit ühes tasandis ning nende määratud rööptahuka ruumala on null.

Miinor ja algebraline täiend

Maatriksi A elemendi $a_{ij}$ miinoriks $M_{ij}$ nimetatakse selle elemendi rea i ja veeru j eemaldamisel saadud maatriksi determinanti.

Näiteks maatriksi

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{pmatrix}'): {\displaystyle A= \begin{pmatrix} 0&1&2\ 3&4&5\ 6&7&8 \end{pmatrix} }

korral on

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{vmatrix}'): {\displaystyle M_{11}= \begin{vmatrix} 4&5\ 7&8 \end{vmatrix} =-3, }

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{vmatrix}'): {\displaystyle M_{21}= \begin{vmatrix} 1&2\ 7&8 \end{vmatrix} =-6, }

ja

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{vmatrix}'): {\displaystyle M_{32}= \begin{vmatrix} 0&2\ 3&5 \end{vmatrix} =-6. }

Elemendi $a_{ij}$ algebraline täiend ehk kofaktor on

$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Seega on kofaktorite märgid paigutatud järgmiselt:

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\cr'): {\displaystyle \begin{pmatrix} +&-&+&-\cr -&+&-&+\cr +&-&+&-\cr -&+&-&+ \end{pmatrix}. }

Näide: neljandat järku determinandi arendamine

Olgu

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{pmatrix}'): {\displaystyle A= \begin{pmatrix} 3&3&8&0\ 8&9&7&1\ 0&2&3&6\ 6&8&7&5 \end{pmatrix}. }

Selle determinandi võib arendada näiteks esimese rea järgi:

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{vmatrix}'): {\displaystyle \begin{aligned} \det(A) ={}& 3 \begin{vmatrix} 9&7&1\ 2&3&6\ 8&7&5 \end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix} 8&7&1\ 0&3&6\ 6&7&5 \end{vmatrix}\ &+ 8 \begin{vmatrix} 8&9&1\ 0&2&6\ 6&8&5 \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 8&9&7\ 0&2&3\ 6&8&7 \end{vmatrix}. \end{aligned} }

Selle maatriksi determinant on

$\det(A)=49.$

4×4 determinandi saab Laplace'i meetodil arendada ükskõik millise nelja rea või nelja veeru järgi, seega on võimalikke arendusviise kokku kaheksa. Praktikas valitakse tavaliselt rida või veerg, milles on kõige rohkem nulle, et arvutust lihtsustada.

Determinant ja lineaarvõrrandisüsteemid

Vaatleme ruutset lineaarvõrrandisüsteemi

$Ax=b,$

kus A on n×n koefitsiendimaatriks.

Kui

$\det(A)\neq 0,$

siis on maatriks A pööratav ning süsteemil on täpselt üks lahend:

$x=A^{-1}b.$

Kui

$\det(A)=0,$

siis maatriks A ei ole pööratav ning süsteemil ei ole täpselt ühte lahendit: süsteemil võib lahend puududa või olla lõpmata palju lahendeid.

Crameri valemid

Crameri valemeid saab kasutada ruutse lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks juhul, kui

$\det(A)\neq 0.$

Olgu

$Ax=b,$

kus A on n×n maatriks. Maatriks A_i saadakse A-st, asendades i-nda veeru vabaliikmete vektoriga b. Siis on tundmatu $x_{i}$ väärtus

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}},\qquad i=1,2,\ldots ,n.$

Crameri reegel annab otsese valemi süsteemi iga tundmatu jaoks, kuid suurte süsteemide korral on see arvutuslikult ebaefektiivne võrreldes Gaussi eliminatsiooniga.

Pöördmaatriks

Kui ruutmaatriksi A determinant on nullist erinev, saab pöördmaatriksi leida algebraliste täiendite abil:

\frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A), </math>

kus $\operatorname {adj} (A)$ on adjungaatmaatriks, mis saadakse maatriksi A algebralistest täienditest moodustatud maatriksi transponeerimisel.

See valem kehtib ainult juhul

$\det(A)\neq 0.$

Praktikas kasutatakse pöördmaatriksi leidmiseks sageli Gaussi-Jordani eliminatsiooni või muid maatriksi lagundamisel põhinevaid meetodeid.

Astak ja determinant

Maatriksi astak on selle nullist erineva miinori suurim järk. Seega on ruutmaatriksi A determinant nullist erinev parajasti siis, kui tema astak võrdub maatriksi järguga:

$\det(A)\neq 0\quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname {rank} (A)=n.$

Kui $\det(A)=0$, siis on A astak väiksem kui n.

Vektorkorrutis

Kolmemõõtmeliste vektorite vektorkorrutise võib kirjutada formaalselt determinandilaadse avaldisena:

Liigendamine ebaõnnestus (tundmatu funktsioon '\begin{vmatrix}'): {\displaystyle \vec a\times\vec b= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf i}&\hat{\mathbf j}&\hat{\mathbf k}\ a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}. }

Selle arendamisel saadakse

\begin{vmatrix} a_1&a_3\ b_1&b_3 \end{vmatrix}\hat{\mathbf j} + \begin{vmatrix} a_1&a_2\ b_1&b_2 \end{vmatrix}\hat{\mathbf k}. </math>

Vektorkorrutis on risti nii vektoriga ${\vec {a}}$ kui ka vektoriga ${\vec {b}}$. Selle suund määratakse parema käe reegli abil ning

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}.$

Vektorkorrutise pikkus võrdub vektorite määratud rööpküliku pindalaga.

Ajalugu

Determinandi mõiste kujunes välja enne tänapäevase maatriksi mõiste kasutuselevõttu ning oli algselt seotud lineaarvõrrandisüsteemidega. Determinante kasutati algul võrrandisüsteemide lahenduvuse uurimisel.

Gerolamo Cardano käsitles 16. sajandi lõpus teist järku determinantidega seotud arvutusi. Gottfried Wilhelm Leibniz uuris 17. sajandi lõpus suurema järgu determinantidega seotud meetodeid ning kasutas determinantide ideed lineaarvõrrandisüsteemide puhul. Gabriel Cramer avaldas 1750. aastal meetodi, mida tänapäeval tuntakse Crameri reeglina.

Determinantide teooria arenes edasi 18. ja 19. sajandil ning muutus hiljem maatriksiteooria ja lineaaralgebra lahutamatuks osaks.