Bagnis spielte bis 2010 auf der drittklassigen ITF Future Tour, wo er fünf Einzel- und acht Doppeltitel gewann. Anschließend konnte zunächst vor allem auf der ATP Challenger Tour Erfolge erzielen. So gewann er 2011 seine ersten Turniere: Im März sicherte er sich zusammen mit Federico Delbonis den Doppeltitel in Salinas, ehe er nur einen Monat später im April den ersten Einzeltitel feiern konnte. Er besiegte in Barranquilla seinen Landsmann Diego Junqueira nach 1:6, 6:6-Rückstand noch mit 1:6, 7:6, 6:0. Er kam anschließend noch etlichen weiteren Titel – 17 im Einzel und 13 im Doppel.
Im selben Jahr gab er sein Debüt auf der World Tour in Chile bei den Movistar Open. In der ersten Runde unterlag er dem späteren Finalisten Santiago Giraldo in drei Sätzen. Sein erstes Spiel auf der World Tour gewann er 2012 bei der Copa Claro in Buenos Aires, als er Leonardo Mayer in drei Sätzen schlagen konnte. Im Achtelfinale blieb er gegen David Ferrer chancenlos.
Im Juli 2013 gewann er an der Seite von Thomaz Bellucci das ATP-Turnier in Stuttgart; sie bezwangen im Finale die beiden Polen Tomasz Bednarek und Mateusz Kowalczyk. Durch seinen ersten World-Tour-Titel im Doppel stieß er bis auf sein Karrierehoch von Platz 78 der Doppel-Weltrangliste vor, womit er erstmals unter den Top 100 verzeichnet wurde. Bei den French Open 2014 qualifizierte er sich erstmals für ein Grand-Slam-Turnier. In der ersten Runde besiegte er Julien Benneteau mit 18:16 im fünften Satz.
2025 wurde Bagnis bei einer Dopingkontrolle positiv auf Hydrochlorothiazid getestet, das als Verschleierungssubstanz auf der Anti-Doping-Liste steht. Bagnis konnte nachweisen, dass er die Substanz unabsichtlich zu sich nahm, woraufhin die International Tennis Integrity Agency (ITIA) ihn für 1 Jahr sperrte. Er ist im Oktober 2026 wieder spielberechtigt.[1]
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